CHUYÊN ĐỀ III. QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC VÀ CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC CHỦ ĐỀ 1. QUAN HỆ GIỮA GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT TAM GIÁC
1. Các định lý và lý thuyết quan trọng
2.1. Định lý về mối quan hệ giữa góc và cạnh đối diện Trong một tam giác, có một quy tắc quan trọng về mối quan hệ giữa góc và cạnh đối diện:
- "Cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn". - Nếu trong tam giác ABC, góc\(\widehat{A} > \widehat{B}\)}, thì cạnh a > b.
- Tương tự, nếu \( \widehat{C} > \widehat{A}
\) thì \( c > a.\)
2.2. Định lý Sin trong tam giác Công thức định lý Sin: \(\frac{a}{\sin \widehat{A}} = \frac{b}{\sin \widehat{B}} = \frac{c}{\sin \widehat{C}}\)
Trong đó: - a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác. - \(\widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C}\) là các góc đối diện với các cạnh a, b, c.
2.3. Định lý Cosin trong tam giác Công thức định lý Cosin: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \widehat{C}\)
Trong đó: - a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác. - \(\widehat{C}\) là góc đối diện với cạnh c.
2.4. Các mối quan hệ trong tam giác vuông Định lý Pythagoras: \(a^2 + b^2 = c^2\)
Trong đó: - c là cạnh huyền. - a và b là các cạnh góc vuông.
3. Cách áp dụng mối quan hệ giữa góc và cạnh
Ví dụ 1: Trong tam giác ABC, nếu a = 5, b = 7, và\( \widehat{C} = 60^\circ\), sử dụng định lý Sin để tính góc \(\widehat{A}\) và góc \(\widehat{B}.\)
Ví dụ 2: Trong tam giác vuông ABC, nếu a = 3, b = 4, tính cạnh huyền c bằng định lý Pythagoras:
Bài tập 1: Cho tam giác ABC với a = 6, b = 8,\( \widehat{C} = 45^\circ\), hãy tính góc \(\widehat{A} \)và góc \(\widehat{B}.\)
Dạng 2: Tính cạnh khi biết các góc và cạnh đối diện
Bài tập 2: Cho tam giác vuông ABC với a = 3, b = 4, hãy tính cạnh huyền c.
Dạng 3: Tính các góc trong tam giác khi biết các cạnh
Bài tập 3: Trong tam giác ABC, biết rằng a = 5, b = 12, và c = 13, hãy tính các góc\( \widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C}\) của tam giác này.
5. Các mẹo và lưu ý
- Định lý Sin chỉ áp dụng khi bạn biết được một góc và hai cạnh, hoặc hai góc và một cạnh trong tam giác. - Định lý Cosin áp dụng khi bạn biết ba cạnh trong tam giác và cần tính góc. - Trong tam giác vuông, định lý Pythagoras là công thức quan trọng để tính cạnh huyền.
6. Bài tập luyện tập
Bài tập 1 Trong tam giác ABC, biết rằng a = 6, b = 8,\( \widehat{C} = 45^\circ\), hãy tính góc \(\widehat{A}\) và góc \(\widehat{B}.\)
Bài tập 2: Tính cạnh c trong tam giác vuông với a = 7, b = 24 bằng định lý Pytago
Bài tập 3: Trong tam giác ABC, biết rằng a = 8, b = 15, và \(\widehat{C} = 60^\circ\). Tính góc \(\widehat{A}
\) và góc \(\widehat{B}.\)
Bài tập 4: Cho tam giác ABC với các cạnh a = 10, b = 24, c = 26. Hãy tính góc\( \widehat{A}\), \(\widehat{B}\) và \( \widehat{C}.\)
Bài tập 5: Tính độ dài cạnh đối diện với góc \(\widehat{C}\) trong tam giác ABC, biết rằng\( \widehat{A} = 30^\circ\), \(\widehat{B} = 45^\circ \)và cạnh a = 8.
