CHỦ ĐỀ 2. QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN, ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU
1. Các định lý và lý thuyết quan trọng
1.1. Định lý về đường vuông góc và đường xiên Trong tam giác vuông, đường vuông góc là đoạn thẳng nối từ một đỉnh góc vuông đến đường chéo của tam giác, và đường xiên là đoạn thẳng nối hai đỉnh không vuông của tam giác. Các mối quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên có thể được mô tả thông qua các định lý sau:
- Định lý về độ dài đường vuông góc: Trong tam giác vuông, đường vuông góc chia tam giác thành hai tam giác vuông đồng dạng với tam giác ban đầu. - Định lý về đường xiên: Đoạn đường xiên trong tam giác vuông có quan hệ tỷ lệ với các cạnh của tam giác.
1.2. Định lý hình chiếu Định lý về hình chiếu mô tả mối quan hệ giữa một đoạn thẳng và hình chiếu của nó lên một đường thẳng. Công thức tính hình chiếu của một đoạn thẳng lên một đường thẳng là: Hình chiếu của đoạn thẳng AB lên đường thẳng\( = \text{AB} \cdot \cos \theta\)
Trong đó: - AB là độ dài đoạn thẳng. - \(\theta\) là góc giữa đoạn thẳng và đường thẳng l.
2. Cách áp dụng mối quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Ví dụ 1: Trong tam giác vuông ABC, nếu đoạn AB là cạnh huyền, BC là cạnh vuông góc, và đoạn AC là đường xiên, hãy tính chiều dài của AC khi biết góc \(\widehat{B}.\)
Ví dụ 2: Tính độ dài của hình chiếu của đoạn AB lên đường thẳng l, khi biết độ dài của AB và góc giữa AB và l.
3. Các dạng bài tập
Dạng 1: Tính chiều dài của đường xiên trong tam giác vuông
Bài tập 1: Cho tam giác vuông ABC, biết rằng \( \widehat{B} = 30^\circ\), cạnh BC = 6, tính chiều dài của cạnh AC.
Dạng 2: Tính hình chiếu của đoạn thẳng lên một đường thẳng
Bài tập 2: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 10 và góc giữa AB và đường thẳng l là 60^\circ. Hãy tính hình chiếu của AB lên l.
Dạng 3: Tính độ dài đường vuông góc trong tam giác vuông
Bài tập 3: Trong tam giác vuông ABC, biết cạnh AB = 12, cạnh BC = 16 và góc \(\widehat{B} = 90^\circ.\) Hãy tính độ dài của đường vuông góc từ điểm B đến cạnh AC.
4. Các mẹo và lưu ý
- Khi giải các bài toán liên quan đến đường vuông góc và đường xiên, hãy luôn xác định rõ các góc và mối quan hệ giữa các cạnh trong tam giác. - Định lý hình chiếu chỉ áp dụng khi bạn biết góc giữa đoạn thẳng và đường thẳng mà đoạn thẳng chiếu lên. - Định lý tỷ lệ trong tam giác vuông (định lý Pythagoras) có thể giúp giải các bài toán liên quan đến các đoạn thẳng vuông góc.
5. Bài tập luyện tập
Bài tập 1: (Dạng cơ bản) Trong tam giác vuông ABC, biết rằng \( \widehat{B} = 45^\circ\), cạnh BC = 8, tính chiều dài của đường xiên AC.
Bài tập 2: Tính hình chiếu của đoạn thẳng AB có độ dài 12, khi góc giữa AB và đường thẳng l là \(30^\circ.\)
Bài tập 3: Cho tam giác vuông ABC, biết rằng AB = 9, BC = 12 và \( \widehat{B} = 90^\circ\). Hãy tính chiều dài của đường vuông góc từ B đến cạnh AC.
Bài tập 4: Tính chiều dài đường xiên trong tam giác vuông ABC với các cạnh AB = 10, BC = 24 và \( \widehat{C} = 60^\circ.\)
Bài tập 5: Cho tam giác vuông ABC, biết rằng \(\widehat{A} = 60^\circ\), AB = 14 và BC = 18, hãy tính độ dài của hình chiếu của AB lên cạnh BC.
