1. Định nghĩa - Hai đường thẳng xx', yy' cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc vuông thì gọi là **hai đường thẳng vuông góc**. - Kí hiệu: xx' ⊥ yy'.
2. Tính chất hai đường thẳng vuông góc - Có một và chỉ một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
3. Đường trung trực của đoạn thẳng - Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là **đường trung trực** của đoạn thẳng ấy.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Vẽ hình
1A. Vẽ đường tròn tâm O bán kính R = 2 cm. Lấy ba điểm A, B, C phân biệt bất kỳ trên đường tròn. Vẽ các dây AB, BC, CA. Vẽ các đường trung trực của các đoạn thẳng AB, BC, CA.
1B. Cho ba điểm A, B, C bất kỳ. Hãy vẽ các đường trung trực của các đoạn thẳng AB, BC, CA.
2A. Vẽ góc \(\widehat{xOy}\) có số đo bằng 45°. Lấy điểm A bất kỳ nằm trong \((\widehat{xOy}).\) Qua A vẽ đường thẳng d vuông góc với tia Ox tại B, đường thẳng d' vuông góc với tia Oy tại C và đường thẳng d'' đi qua A và vuông góc với BC.
2B. Vẽ đường thẳng a. Trên đường thẳng a vẽ đoạn AB = 6 cm. Vẽ tiếp đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với a. Vẽ đường thẳng d' đi qua điểm B và vuông góc với a. Hai đường thẳng d và d' có cắt nhau không?
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Phương pháp giải: Muốn chứng minh hai đường thẳng xx' và yy' vuông góc với nhau ta có thể sử dụng một trong bốn cách sau: - Cách 1. Chứng minh một trong bốn góc tạo thành bởi hai đường thẳng ấy là góc vuông. - Cách 2. Chứng minh hai góc kề bù bằng nhau, từ đó suy ra có một góc bằng 90°. - Cách 3. Chứng minh hai tia Ox và Oy là hai tia phân giác của hai góc kề bù nhau với O là giao điểm của xx' và yy'.
3A. Cho\( \widehat{xOy}\) = 120°. Vẽ các tia Oz và Ot nằm trong \(\widehat{xOy} \)sao cho Oz vuông góc với Ox và Ot vuông góc với Oy. a) Tính số đo góc zOt. b) Gọi Om và On lần lượt là hai tia phân giác của hai góc\( (\widehat{xOt}) \)và \((\widehat{yOz}).\) Chứng minh tia Om = On.
3B. Cho góc \(\widehat{(mOn)} = 150°\). Vẽ các tia Oa và Ob ở trong góc đó sao cho Oa, Ob lần lượt vuông góc với các tia Om và On. a) Chứng tỏ \((\widehat{aOn}) = (\widehat{bOm}). \) b) Vẽ tia Ox và tia Oy theo thứ tự là các tia phân giác của các góc \((\widehat{aOn})\) và \((\widehat{bOm})\)Tính \( \widehat{xOy}\)
4A. Cho hai tia Ox và Oy vuông góc với nhau. Trong góc\( \widehat{xOy}\) ta vẽ hai tia Oa và Ob sao cho \((\widehat{aOx}) = (\widehat{bOy}) = 30°\). Vẽ tia Oc sao cho tia Oy là tia phân giác của (\(\widehat{aOc}\). Chứng tỏ tia Oa là phân giác của (\(\widehat{bOx}\)) và hai tia Ob, Oc vuông góc với nhau.
4B. Cho góc bẹt \(\widehat{xOy}\). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ xy, ta vẽ ba tia gồm Om, On sao cho\( \widehat{xOm}\) = \(\widehat{yOn}\) < 90° và Ot là phân giác của \( \widehat{mOn}. \)Chứng minh Ot vuông góc với xy.
Dạng 3: Các bài toán vận dụng tính chất hai đường thẳng vuông góc Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hai đường thẳng vuông góc để giải các bài tập liên quan.
5A. Cho \(\widehat{xOy}\) = 120°. Ở phía ngoài của góc vẽ hai tia Oc và Od sao cho Od ⊥ Ox và Oc ⊥ Oy. Gọi Om và On theo thứ tự là phân giác của\( \widehat{xOy}\) và\( \widehat{dOc};\) Oy' là tia đối của tia Oy. Chứng minh: a) Ox là tia phân giác của\( \widehat{y'Om}. \) b) Oy' nằm giữa hai tia Ox và Od. c) Góc mOn là góc bẹt.
5B. Cho\( \widehat{xOy} \)= 100°. Về phía ngoài của góc vẽ hai tia Oz và Ot sao cho Oz và Ot lần lượt vuông góc với Ox và Oy. Gọi Om là tia phân giác của\( \widehat{xOy} \)và Om' là tia đối của tia Om. a) Chứng minh Om' là tia phân giác của\( \widehat{zOt}. \) b) So sánh số đo hai góc \((\widehat{mOz})\) và \((\widehat{yOm}).\)
6A. Cho góc nhọn \widehat{xOy}. Trên một nửa mặt phẳng bờ Ox chứa tia Oy, kẻ tia Ox' vuông góc với Ox. Trên một nửa mặt phẳng bờ Oy chứa tia Ox, vẽ tia Oy' vuông góc với Oy. Chứng minh hai góc \\(\widehat{xOy}\) và \(\widehat{x'Oy'}\) có cùng tia phân giác và tổng số đo hai góc bằng 180°.
6B. Cho góc xOy tù. Bên ngoài góc đó dựng hai tia Oz và Ot lần lượt vuông góc với Ox và Oy. Chứng minh hai góc \( \widehat{xOy}\) và \( \widehat{zOt}\) bù nhau.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
7. Cho góc aOb có số đo bằng 50°. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ Ob chứa tia Oa, vẽ tia Om vuông góc với Ob. Trên nửa mặt phẳng còn lại vẽ tia On vuông góc với Oa. a) Chứng minh hai góc aOm và bOn bằng nhau. b) Vẽ Om' là tia đối của tia Om. Tính số đo góc m'On.
8. Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O. Vẽ tia phân giác Om của \(\widehat{BOC}.\) Gọi On là tia đối của tia Om. Chứng minh: a) Tia On là phân giác của \(\widehat{AOD}. \) b) Gọi Op là phân giác của\( \widehat{BOD}.\) Chứng minh Op ⊥ On.
9. Cho góc xOy. Từ điểm A nằm trong góc đó kẻ AH vuông góc với Ox (H thuộc Ox) và AK vuông góc với Oy (K thuộc Oy). Trên tia đối của tia HA lấy điểm B sao cho HB = HA. Trên tia đối của tia KA lấy điểm C sao cho KC = KA. Chứng minh OB = OC.
10. Cho góc vuông xOy. Điểm M nằm trong góc đó. Vẽ điểm N và P sao cho tia Ox là đường trung trực của MN và Oy là đường trung trực của MP. Chứng minh ON = OP.
