1. Định nghĩa tam giác vuông:
Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông.
2. Định lý Pytago:
Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Ví dụ: Nếu tam giác ABC vuông tại A, ta có:
3. Định lý Pytago đảo:
Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.
Ví dụ: Nếu tam giác ABC có
4. Hệ quả của định lý Pytago:
5. Mở rộng định lý Pytago trong không gian:
Trong một hình hộp chữ nhật, bình phương đường chéo bằng tổng bình phương ba kích thước của hình hộp.
Ví dụ 1 (Áp dụng định lý Pytago): Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài cạnh BC.
Lời giải:
Áp dụng định lý Pytago, ta có:
Suy ra:
Ví dụ 2 (Áp dụng định lý Pytago đảo): Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 12cm, BC = 13cm. Chứng minh tam giác ABC vuông.
Lời giải:
Ta có:
và
Do đó:
Vậy theo định lý Pytago đảo, tam giác ABC vuông tại A.
Ví dụ 3 (Áp dụng định lý Pytago trong không gian): Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 3cm, AD = 4cm, AA' = 5cm. Tính độ dài đường chéo AC'.
Lời giải:
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông ABC, ta có:
Suy ra: AC = 5 (cm)
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông ACC', ta có:
Suy ra:
Dạng 1: Tính độ dài cạnh của tam giác vuông
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết BC = 10cm, AC = 8cm. Tính độ dài cạnh AB.
Bài 2: Cho tam giác DEF vuông tại D, biết DE = 6cm, DF = 8cm. Tính độ dài cạnh EF.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 5cm, BC = 13cm. Tính độ dài cạnh AC.
Dạng 2: Xác định tam giác vuông
Bài 4: Cho tam giác MNP có MN = 8cm, NP = 15cm, MP = 17cm. Chứng minh tam giác MNP vuông.
Bài 5: Cho tam giác XYZ có XY = 6cm, YZ = 8cm, XZ = 10cm. Chứng minh tam giác XYZ vuông.
Dạng 3: Mối liên hệ giữa cạnh và đường cao
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 6cm, AC = 8cm. Tính độ dài AH, BH, CH.
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 9cm, CH = 16cm. Tính độ dài AB, AC, AH.
Dạng 4: Hình học không gian
Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, BC = 6cm. Tính độ dài đường chéo AC.
Bài 9: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm. Tính độ dài đường chéo AC.
Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 3cm, AD = 4cm, AA' = 12cm. Tính độ dài đường chéo AC'.
Bài 11: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Biết BC = 10cm. Tính độ dài AB và AC.
Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 3cm, AC = 4cm. Kẻ đường cao AH. Tính độ dài AH.
Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM =
Bài 14: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, có AB // CD, AB = 3cm, AD = 4cm, CD = 12cm. Tính độ dài BC.
Bài 15: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết
Câu 1 (Trường THCS Nguyễn Du - TP.HCM):
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6cm, AC = 8cm. Tính độ dài đường cao AH.
Câu 2 (Trường THCS Lê Quý Đôn - Hà Nội):
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, biết AB // CD, AB = 3cm, AD = 4cm, CD = 12cm. Tính độ dài BC.
Câu 3 (Trường THCS Trần Phú - Đà Nẵng):
Cho tam giác ABC vuông tại A, có
Câu 4 (Trường THCS Nguyễn Trãi - Hải Phòng):
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm, đường chéo AC = 20cm. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
Câu 5 (Trường THCS Chu Văn An - Nghệ An):
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết