Chủ đề: Định lý Pytago (Toán lớp 7)
I. Lý thuyết
1. Định nghĩa tam giác vuông:
Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông.
- Cạnh đối diện với góc vuông gọi là cạnh huyền.
- Hai cạnh kề với góc vuông gọi là hai cạnh góc vuông.
2. Định lý Pytago:
Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Ví dụ: Nếu tam giác ABC vuông tại A, ta có: \(BC^2 = AB^2 + AC^2\)
3. Định lý Pytago đảo:
Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.
Ví dụ: Nếu tam giác ABC có \(BC^2 = AB^2 + AC^2\) thì tam giác ABC vuông tại A.
4. Hệ quả của định lý Pytago:
- Trong một tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất.
- Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.
5. Mở rộng định lý Pytago trong không gian:
Trong một hình hộp chữ nhật, bình phương đường chéo bằng tổng bình phương ba kích thước của hình hộp.
II. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1 (Áp dụng định lý Pytago): Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài cạnh BC.
Lời giải:
Áp dụng định lý Pytago, ta có:
\(BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)
Suy ra:\( BC = \sqrt{25} = 5 (cm)\)
Ví dụ 2 (Áp dụng định lý Pytago đảo): Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 12cm, BC = 13cm. Chứng minh tam giác ABC vuông.
Lời giải:
Ta có: \(AB^2 + AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\)
và\( BC^2 = 13^2 = 169\)
Do đó:\( BC^2 = AB^2 + AC^2\)
Vậy theo định lý Pytago đảo, tam giác ABC vuông tại A.
Ví dụ 3 (Áp dụng định lý Pytago trong không gian): Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 3cm, AD = 4cm, AA' = 5cm. Tính độ dài đường chéo AC'.
Lời giải:
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông ABC, ta có:
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25\)
Suy ra: AC = 5 (cm)
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông ACC', ta có:
\(AC'^2 = AC^2 + CC'^2 = 5^2 + 5^2 = 50\)
Suy ra: \(AC' = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} (cm)\)
III. Bài tập
Dạng 1: Tính độ dài cạnh của tam giác vuông
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết BC = 10cm, AC = 8cm. Tính độ dài cạnh AB.
Bài 2: Cho tam giác DEF vuông tại D, biết DE = 6cm, DF = 8cm. Tính độ dài cạnh EF.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 5cm, BC = 13cm. Tính độ dài cạnh AC.
Dạng 2: Xác định tam giác vuông
Bài 4: Cho tam giác MNP có MN = 8cm, NP = 15cm, MP = 17cm. Chứng minh tam giác MNP vuông.
Bài 5: Cho tam giác XYZ có XY = 6cm, YZ = 8cm, XZ = 10cm. Chứng minh tam giác XYZ vuông.
Dạng 3: Mối liên hệ giữa cạnh và đường cao
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 6cm, AC = 8cm. Tính độ dài AH, BH, CH.
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 9cm, CH = 16cm. Tính độ dài AB, AC, AH.
Dạng 4: Hình học không gian
Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, BC = 6cm. Tính độ dài đường chéo AC.
Bài 9: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm. Tính độ dài đường chéo AC.
Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 3cm, AD = 4cm, AA' = 12cm. Tính độ dài đường chéo AC'.
IV. Bài tập mở rộng
Bài 11: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Biết BC = 10cm. Tính độ dài AB và AC.
Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 3cm, AC = 4cm. Kẻ đường cao AH. Tính độ dài AH.
Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM = \(\frac{BC}{2}.\)
Bài 14: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, có AB // CD, AB = 3cm, AD = 4cm, CD = 12cm. Tính độ dài BC.
Bài 15: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết \(\frac{AB}{AC} = \frac{3}{4}\) và BC = 10cm. Tính độ dài AB, AC.
V. Một số câu hỏi từ đề thi
Câu 1 (Trường THCS Nguyễn Du - TP.HCM):
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6cm, AC = 8cm. Tính độ dài đường cao AH.
Câu 2 (Trường THCS Lê Quý Đôn - Hà Nội):
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, biết AB // CD, AB = 3cm, AD = 4cm, CD = 12cm. Tính độ dài BC.
Câu 3 (Trường THCS Trần Phú - Đà Nẵng):
Cho tam giác ABC vuông tại A, có\( \widehat{B} = 60^\circ\) và BC = 10cm. Tính độ dài AB.
Câu 4 (Trường THCS Nguyễn Trãi - Hải Phòng):
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm, đường chéo AC = 20cm. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
Câu 5 (Trường THCS Chu Văn An - Nghệ An):
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết \(\frac{AB}{AC} = \frac{5}{12}\) và AH = 30cm. Tính độ dài BC.
