Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.
Kí hiệu: ΔABC = ΔA'B'C'
2. Các trường hợp bằng nhau của tam giác:
Trường hợp 1: Cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c)
Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác1 đó bằng nhau.
Trường hợp 2: Cạnh - góc - cạnh (c.g.c)
Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai2 cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Trường hợp 3: Góc - cạnh - góc (g.c.g)
Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một3 cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
3. Các tam giác đặc biệt:
Tam giác cân: Là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
Hai góc ở đáy của tam giác cân bằng nhau.
Đường trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân cũng là đường cao, đường phân giác, đường trung trực của tam giác đó.
Tam giác đều: Là tam giác có ba cạnh bằng nhau.
Ba góc của tam giác đều bằng nhau và bằng 60°.
Mỗi đường trung tuyến của tam giác đều cũng là đường cao, đường phân giác, đường trung trực của tam giác đó.
Tam giác vuông: Là tam giác có một góc vuông.
Hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau.
Cạnh đối diện với góc vuông gọi là cạnh huyền.
Hai cạnh kề với góc vuông gọi là hai cạnh góc vuông.
II. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = AC, \(\widehat{BAC} = 60°\). Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.
Lời giải:
Vì AB = AC và\( \widehat{BAC} = 60°\) nên tam giác ABC là tam giác cân tại A. Do đó, \(\widehat{ABC} = \widehat{ACB}.\)
Mà\( \widehat{BAC} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180°\) (tổng ba góc trong một tam giác)
Suy ra 60° +\( \widehat{ABC} + \widehat{ABC} \)= 180°
Hay 2\( \widehat{ABC} + \widehat{ABC} \)= 120°
Do đó,\( \widehat{ABC} = \widehat{ACB}\) = 60°
Vậy tam giác ABC có ba góc bằng nhau, nên tam giác ABC là tam giác đều.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C' có AB = A'B', AC = A'C', \(\widehat{BAC} = \widehat{B'A'C'}\). Chứng minh rằng ΔABC = ΔA'B'C'.
Lời giải:
Xét ΔABC và ΔA'B'C' có:
AB = A'B' (giả thiết)
AC = A'C' (giả thiết)
\(\widehat{BAC} = \widehat{B'A'C'}\) (giả thiết)
Vậy ΔABC = ΔA'B'C' (c.g.c)
III. Bài tập
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = AC. Gọi K là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:
a) ΔAKB = ΔAKC
b) AK ⊥ BC
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Chứng minh rằng ΔADE là tam giác cân.
Bài4 3: Cho tam giác ABC có AB = AC. Tia phân giác của \(\widehat{A}\) cắt BC tại D. Chứng minh rằng:
a) ΔADB = ΔADC
b) AD ⊥ BC
Bài 4: Cho\( \widehat{xOy}\). Trên tia Ox lấy hai điểm A và B, trên tia Oy lấy hai điểm C và D sao cho OA = OC, OB = OD. Chứng minh rằng:
a) ΔOAD = ΔOCB
b) AD = BC
Bài 5: Cho tam giác ABC có\( \widehat{A}\) = 90°, AB = AC. Qua A kẻ đường thẳng d sao cho B và C nằm cùng phía đối với đường thẳng d. Kẻ BH và CK vuông góc với d. Chứng minh rằng:
a) AH = CK
b) HK = BH + CK5
IV. Hướng dẫn giải bài tập
Bài 1:
a) Xét ΔAKB và ΔAKC có:
AB = AC (giả thiết)
AK chung
BK = CK (K là trung điểm của BC)
Vậy ΔAKB = ΔAKC (c.c.c)
b) Vì ΔAKB = ΔAKC (chứng minh trên) nên\( \widehat{AKB} = \widehat{AKC}\).
Mà \(\widehat{AKB} + \widehat{AKC}\) = 180° (hai góc kề bù)
Suy ra \(\widehat{AKB} = \widehat{AKC}\) = 90°
Vậy AK ⊥ BC.
Bài 2, 3, 4, 5: Tương tự như bài 1, các bạn hãy vận dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh.
Bài tập mở rộng
Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Gọi M là giao điểm của BE và1 CD.
Chứng minh rằng:
a) BE = CD
b)\(2 \widehat{BMD} = \widehat{CME}\)
c) AM là tia phân giác của \widehat{BAC}.
Bài 7: Cho tam giác ABC có AB = AC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Gọi M là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng:
a) DE // BC
b) AM là tia phân giác của \(\widehat{DAE}\)
c) \(\widehat{AMC} = 90°\)
Bài 8: Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của\( \widehat{A}\) cắt BC tại D. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB.
a) Chứng minh BD = DE.
b) So sánh \(\widehat{BDE} và \widehat{BAC}.\)
Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN.
a) Chứng minh3 ΔAMN là tam giác cân.
b) Kẻ BH4 ⊥ AM (H ∈ AM), CK ⊥ AN (K ∈ AN). Chứng minh BH = CK.
c) Gọi O là giao điểm của BH và CK. Chứng minh ΔOBC cân.
d) Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh A, O, D thẳng hàng.
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A có \(\widehat{B} = 60°\). Vẽ AH ⊥ BC (H ∈ BC).
a) So sánh AB và AC, BH và HC.
b) Lấy điểm D thuộc tia đối của tia HA sao cho HD = HA. Chứng minh ΔAHC = ΔDHC. c) Tính số đo của \(\widehat{BDC}.\)
Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Kẻ AH ⊥ BC, DK ⊥ AC.
a) Chứng minh ΔABH = ΔDBH.
b) Chứng minh BH là tia phân giác của \(\widehat{ABD}.\)
c) Chứng minh HK = HC.
Bài 12: Cho tam giác ABC có AB = AC. Trên cạnh AB lấy điểm E, trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AE = AD. Gọi I là giao điểm của BD và CE, F là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:
a) BD = CE
b)5 ΔEIF cân
c) Ba điểm A, I, F thẳng hàng.
Lưu ý:
Các bài tập này đều thuộc chủ đề "Hai tam giác bằng nhau", nhưng có thể yêu cầu bạn vận dụng thêm các kiến thức khác về tam giác, góc, đường thẳng,...
Hãy cố gắng tự mình giải quyết trước khi xem hướng dẫn.
Nếu gặp khó khăn, bạn có thể yêu cầu tôi cung cấp hướng dẫn giải chi tiết cho từng bài.
