Tính chất ba đường cao của tam giác: Định lý, tính chất và bài tập

Tính chất ba đường cao của tam giác: Định lý, tính chất và bài tập

CHỦ ĐỀ 9. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC

1. Định nghĩa và tính chất của ba đường cao trong tam giác

1.1. Định nghĩa về ba đường cao 
Trong một tam giác, ba đường cao là ba đoạn thẳng vuông góc với ba cạnh của tam giác và đi qua các đỉnh của tam giác. Mỗi đường cao chia tam giác thành hai phần vuông góc. Điểm cắt nhau của ba đường cao gọi là **điểm trực tâm** của tam giác.

1.2. Tính chất của ba đường cao 
- Ba đường cao của tam giác cắt nhau tại một điểm chung gọi là **trực tâm**.
- Mỗi đường cao vuông góc với một cạnh của tam giác và đi qua đỉnh đối diện.
- Các đường cao có thể nằm trong, ngoài hoặc trên tam giác, tùy thuộc vào loại tam giác (vuông, nhọn, tù).
- Đoạn đường cao là đoạn thẳng ngắn nhất từ đỉnh của tam giác tới cạnh đối diện.

2. Định lý liên quan đến ba đường cao

2.1. Định lý về trực tâm 
Ba đường cao của tam giác luôn cắt nhau tại một điểm gọi là **trực tâm**. Trực tâm có thể nằm trong tam giác đối với tam giác nhọn, ngoài tam giác đối với tam giác tù, và trên tam giác đối với tam giác vuông.

2.2. Định lý về tỉ lệ đoạn cao 
Trong tam giác vuông, ba đường cao của tam giác vuông có mối quan hệ tỉ lệ với các cạnh của tam giác. Điều này có thể chứng minh bằng định lý Pythagore.

3. Các dạng bài tập

Dạng 1: Tính độ dài của một đường cao 
Bài tập 1: 
Cho tam giác ABC vuông tại A, biết rằng AB = 6, AC = 8, BC = 10. Tính độ dài của đường cao AH từ đỉnh A.

Dạng 2: Chứng minh một điểm nằm trên ba đường cao 
Bài tập 2: 
Cho tam giác ABC với ba đường cao cắt nhau tại điểm H. Hãy chứng minh rằng điểm H là trực tâm của tam giác.

4. Các mẹo và lưu ý

- Để giải các bài toán liên quan đến ba đường cao, cần phải nhớ rằng ba đường cao cắt nhau tại một điểm gọi là trực tâm.
- Để chứng minh một điểm là trực tâm, ta có thể sử dụng định lý vuông góc và tính chất của các đoạn cao trong tam giác.

5. Bài tập luyện tập

Bài tập 1: 
Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 6, AC = 8 và BC = 10. Tính độ dài của đường cao AH từ đỉnh A.

Bài tập 2: 
Chứng minh rằng ba đường cao của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Hãy tính diện tích của tam giác này nếu biết độ dài ba cạnh của tam giác.

Bài tập 3: 
Trong tam giác vuông ABC, ba đường cao cắt nhau tại điểm H. Tính diện tích của các tam giác nhỏ mà ba đường cao chia ra.

Bài tập 4: 
Cho tam giác ABC nhọn. Ba đường cao của tam giác này cắt nhau tại một điểm H. Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác.