- Nếu tại x = a, đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a (hoặc x = a) là một nghiệm của đa thức đó. - Một đa thức (khác đa thức không) có thể có một nghiệm, hai nghiệm,... hoặc không có nghiệm. - Số nghiệm của một đa thức (khác đa thức không) không vượt quá số bậc của đa thức đó.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Kiểm tra xem x = a có phải là nghiệm của đa thức P(x) hay không
Phương pháp giải: Ta tính P(a), nếu P(a) = 0 thì a là nghiệm của đa thức P(x).
1A. Cho đa thức: P(x) = \(x^3 + 2x^2 - 3x\). Số nào sau đây là nghiệm của đa thức P(x): 0; 1; -1; -3.
1B. Mỗi số x = 1; x = -3 có phải là một nghiệm của đa thức \(P(x) = x^2 + 2x - 3 \)hay không?
2A. Cho đa thức \(P(x) = 2x^2 + x - 3\). Chứng tỏ rằng x = 1; x = -1 là hai nghiệm của đa thức đó.
2B. Cho đa thức \(P(x) = x^2 + 5x + 6\). Chứng tỏ rằng x = -2; x = -3 là hai nghiệm của đa thức đó.
3A. Cho đa thức: \(P(x) = (2x^2 - 3x + 1) - (x^2 - 7x - 2). \) a) Thu gọn đa thức P(x). b) Chứng minh rằng -1 và -3 là các nghiệm của P(x).
3B. Cho đa thức: \(P(x) = 2(x^2 - 3) - (x^2 + 5x). \) a) Thu gọn đa thức P(x). b) Chứng minh rằng -1 và 6 là các nghiệm của P(x).
Dạng 2: Tìm nghiệm của đa thức
Phương pháp giải: Để tìm nghiệm của đa thức P(x), ta tìm các giá trị của x sao cho P(x) = 0.
4A. Tìm nghiệm của các đa thức sau: a) x - 10; b) 2x + 8; c) 3x + 8; d) \(16 - x^2;\) e) \(4x^2 - 9;\) f) \(2x^2 - 6; \) g)\( 3x^2 + 6x; \) h) \(4x^3 + 9x.\)
4B. Tìm nghiệm của các đa thức sau: a) x + 5; b) 9 - 3x; c) -4x + 7; d)\( x^2 - 25; \) e) \(9x^2 - 4; \) f) \(5x^2 - 10;\) g)\( x^2 + 2x; \) h) \(x^3 + x.\)
5A. Tìm nghiệm của các đa thức sau: a) \((2x - 4)(x + 9)\); b)\( x^2 + 4x + 3; \) c) \(x^2 + 7x + 12; \) d) \(x^2 - x - 6; \) e)\( 2x^2 + 5x + 3; \) f)\( 3x^2 + 5x - 2.\)
5B. Tìm nghiệm của các đa thức sau: a) (x - 5)(7 + x); b) \(x^2 + 3x + 2; \) c) \(x^2 + 7x + 10; \) d) \(x^2 + 3x - 4; \) e) \(2x^2 - 5x + 3;\) f)\( 3x^2 + 5x - 2.\)
6A. Cho hai đa thức: \(P(x) = 3x^3 + 4x^2 - 2x - 1 - 2x^3 \) và \(g(x) = x^3 + 4x^2 + 3x - 2. \) a) Thu gọn đa thức P(x). b) Tính h(x) = P(x) - g(x). c) Tìm nghiệm của đa thức h(x).
6B. Cho hai đa thức: \(P(x) = 5x^2 - 3x^3 + 6x - 8 + 4x^3 - 2x^2\) và\( g(x) = -x^3 - 3x^2.\) a) Thu gọn đa thức P(x). b) Tính h(x) = P(x) + g(x). c) Tìm nghiệm của đa thức h(x).
Dạng 3: Chứng minh đa thức không có nghiệm
Phương pháp giải: Để chứng minh đa thức P(x) không có nghiệm, ta chứng minh P(x) nhận giá trị khác 0 với mọi giá trị của x.
8A. Chứng tỏ các đa thức sau không có nghiệm: a) \(x^2 + 5; \) b) \(3x^2 + 7; \) c) \(3x^4 + 10.\)
8B. Chứng tỏ các đa thức sau không có nghiệm: a) \(x^2 + 1;\) b)\( 2x^2 + 1; \) c) \(x^4 + 2.\)
9A. Chứng tỏ đa thức sau không có nghiệm:\( x^2 + x + 2.\)
9B. Chứng tỏ đa thức sau không có nghiệm: \(x^2 + x + 1.\)
10A. Chứng tỏ đa thức sau không có nghiệm: \(P(x) = 3(x + 1)^2 + 2(x - 1)^2 + 1.\)
10B. Chứng tỏ đa thức sau không có nghiệm: \(x^2 + (x + 1)^2 + 1.\)
Dạng 4: Tìm đa thức một biến có nghiệm cho trước
Phương pháp giải: Để tìm đa thức P(x) biết x = x0 là một nghiệm của P(x), ta cần chú ý rằng P(x0) = 0.
11A. Cho đa thức \(P(x) = 2x + a - 1\). Tìm a để P(x) có nghiệm: a) x = 0; b) x = 1; c) x = -2.
11B. Cho đa thức P(x) = 4x + a. Tìm a để P(x) có nghiệm: a) x = 0; b) x = -2; c) x = -1.
12A. Cho đa thức P(x) = 2ax + a - 6. Tìm a để P(x) có nghiệm: a) x = 1; b) x = -5; c) x = -1.
12B. Cho đa thức P(x) = ax + a + 5. Tìm a để P(x) có nghiệm: a) x = 1; b) x = -5; c) x = -1.
13A. Hãy xác định hệ số a và b để đa thức\( P(x) = x^2 + 2ax + b\) có nghiệm x = -2.
