Giải đề thi tuyển sinh 10 môn toán chuyên sở GD&ĐT Hải Dương p4

Câu 4:

1. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O), điểm E thuộc cung nhỏ AB của đường tròn (O)(EA,EB). Đường thẳng AE cắt các tiếp tuyến tại B,C của đường tròn (O) lần lượt tại M,N

a, Chứng minh rằng MB.NC=AB2

b, Gọi F  là giao điểm của  MC và BN , H  là trung điểm. Chứng minh rằng ba điểm E,F,H  thẳng hàng.

2. Cho đường tròn (O) và hai điểm A,B cố định nằm trên đường tròn (O) sao cho AOB^=1200. Điểm M thay đổi trên cung lớn AB của đường tròn (O). Đường tròn nội tiếp tam giác MAB tiếp xúc với MA,MB lần lượt tại E,F .Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

1,

a,

Chứng minh rằng:  MB.NC=AB2

Ta có: ABM^=ACB^=BAC^=600BM//ACBMA^=CAN^(1)

Tương tự ta có:

CN//ABBAM^=CNA^(2)

Từ (1) và (2) ta có:

ΔAMB đồng dạng ΔNAC (g,g)

MBAC=ABNCMB.NC=AB.ACMB.NC=AB2

b, Gọi: F là giao điểm củaMC và BN

H là trung điểm BC

Chứng minh 3 điểm E,F,H thẳng hàng

I là giao điểm của EF và BC

Từ a, suy ra MB.NC=BC2MBBC=BCNC(3)

Mặt khác MBC^=MBA^+ABC^=600+600=1200

Tương tự:

BCN^=1200

Suy ra:

MBC^=BCN^(4)

Từ (3) và (4) ta có :

ΔMBC đồng dạngΔBCN (cgc)

Suy ra:

BMC^=NBC^

Ta có:

BFM^=BCF^+FBC^=BCF^+BMC^=1800MBC^=600(5)

Do BEAC nội tiếp nên $BEM^=BCA^=600(6)

Từ (5) và (6) ta có BFM^=BEM^

Suy ra:

BMEF nội tiếp

ΔIBF đồng dạng ΔIEB (g.g)

IBIE=IFIBIB2=IE.IF(7)

Chứng minh tương tự ta có:

IC2=IE.IF(8)

Từ (7) và (8) suy ra IB=ICIH

Vậy: E,F,H thẳng hàng

2. Cho đường tròn (O) và hai điểm A,B cố định nằm trên đường tròn (O) sao choAOB^=1200 Điểm M thay đổi trên cung lớn của đường tròn(O). Đường tròn nội tiếp tam giác MAB tiếp xúc vớiMA,MB lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

Gọi I là trung điểm AB

vẽ AH,IJ,BK cùng vuông góc với EF

Ta có:

AOB^=1200AMB^=600

Hơn nữa: ME=MF

nên tam giác MEF đều

Tam giác vuông AHE có AH=AE.sin600=32.AE=32.AD(1)

Tam giác vuông BKF có BK=BF.sin600=32BF=32BD(2)

Cộng vế (1) và (2) ta có AH+BK=32AB2IJ=32ABIJ=34AB

Vì điểm I cố định nên:

EF tiếp xúc với đường tròn cố định tâm I có bán kính  34AB

Hết phần 4

Tìm kiếm tài liệu học tập về chuyên đề, đề thi thử ôn thi vào 10 môn Toán

chuyên đề tam giác, các dạng bài tập về đường tròn, chứng minh tiếp xúc đường tròn ....

tất cả đều có tại https://tailieuthi.net/

 

 

 

Chia sẻ bài viết
Bạn cần phải đăng nhập để đăng bình luận
Top