Giải đề thi tuyển sinh 10 môn toán chuyên sở GD&ĐT Hải Dương p1

Giải đề thi tuyển sinh 10 môn toán chuyên sở GD&ĐT Hải Dương p1

Câu 1 (2,0 điểm)
    1. Cho hai số a,b thoả mãn các điều kiện \(a.b=1,a+b≠0\). Rút gọn biểu thức:
\(\begin{equation} Q=\frac{1}{(a+b)^3}\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\right)+\frac{3}{\left(a^2+b^2+2\right)^2}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)+\frac{6}{(a+b)^4} \end{equation}\)

2. Cho hai số dương x,y thoả mãn \(x\sqrt {y^2+1}+y \sqrt {x^2+1}=√15\) Tính giá trị của biểu thức:

\(P= (\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{y^2+1}-y)\)

Câu 1.1

 1. Cho hai số a,b thoả mãn các điều kiện \(a.b=1,a+b≠0\). Rút gọn biểu thức:
\(\begin{equation} Q=\frac{1}{(a+b)^3}\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\right)+\frac{3}{\left(a^2+b^2+2\right)^2}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)+\frac{6}{(a+b)^4} \end{equation}\)

\(\text { Ta có: } a^2+b^2+2=(a+b)^2\)

Nên:

\(\begin{aligned} & Q=\frac{1}{(a+b)^3}\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\right)+\frac{3}{(a+b)^4}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)+\frac{6}{(a+b)^4} \\ & =\frac{a^3+b^3}{(a+b)^3}+\frac{3\left(a^2+b^2\right)}{(a+b)^4}+\frac{6}{(a+b)^4} \\ & =\frac{\left(a^3+b^3\right)(a+b)+3\left(a^2+b^2\right)+6}{(a+b)^4} \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} & =\frac{a^4+b^4+a b\left(a^2+b^2\right)+3\left(a^2+b^2\right)+6}{\left(a^2+b^2+2\right)^2} \\ & =\frac{a^4+b^4+4\left(a^2+b^2\right)+6}{\left(a^2+b^2+2\right)^2} \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} & =\frac{\left(a^2+b^2+2\right)^2}{\left(a^2+b^2+2\right)^2} \\ & =1 \end{aligned}\)

Câu 1.2

Cho hai số dương x,y thoả mãn  \(x \sqrt{y^2+1}+y \sqrt{x^2+1}=\sqrt{15}\)

Tính giá trị của biểu thức:

\(P = \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 1} - y} \right)\)

\(P = \sqrt {{x^2} + 1} \sqrt {{y^2} + 1} + xy - \left( {x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} } \right) = \sqrt {{x^2} + 1} \sqrt {{y^2} + 1} + xy - \sqrt {15} \)

\(M = \sqrt {{x^2} + 1} \sqrt {{y^2} + 1} + xy \Rightarrow {M^2} = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{y^2} + 1} \right) + {x^2}{y^2} + 2xy\sqrt {{x^2} + 1} .\sqrt {{y^2} + 1} \\ = 2{x^2}{y^2} + {x^2} + {y^2} + 1 + 2xy\sqrt {{x^2} + 1} .\sqrt {{y^2} + 1} \)

\(\begin{array}{l} = {x^2}\left( {{y^2} + 1} \right) + {y^2}\left( {{x^2} + 1} \right) + 2x\sqrt {{y^2} + 1} .y\sqrt {{x^2} + 1} + 1\\ = {\left( {x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} } \right)^2} + 1 \end{array} \)

\(= 16 \Rightarrow M = 4\)

\(P = 4 - \sqrt {15} \)

Tìm kiếm tài liệu học tập về chuyên đề, đề thi thử ôn thi vào 10 môn Toán, chuyên đề rút gọn biểu thức, tính giá trị của biểu thức....

tất cả đều có tại https://tailieuthi.net/