Vectơ trong không gian

Tài liệu học tập về Vectơ trong không gian lớp 6

1. Khái niệm về vectơ trong không gian

Vectơ là một đối tượng toán học có đặc điểm chính là chỉ ra hướng và độ dài (magnitude), thường được biểu diễn bằng một mũi tên trong không gian. Trong không gian ba chiều (3D), vectơ được định nghĩa là một đoạn thẳng có chiều dài và hướng, và có thể xác định bằng ba tọa độ trong hệ tọa độ OXYZ.

Một vectơ trong không gian thường được ký hiệu dưới dạng:

\(\vec{AB} = \langle x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1 \rangle\)

Trong đó \(A(x_1, y_1, z_1)\) và \(B(x_2, y_2, z_2)\) là hai điểm trong không gian. Vectơ này có độ dài bằng khoảng cách giữa hai điểm AA và BB, được tính theo công thức:

\(|\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\)

Trong đó, độ dài của vectơ \(|\vec{AB}| \)chính là khoảng cách giữa hai điểm trong không gian 3D.

2. Các phép toán với vectơ trong không gian

2.1. Cộng và trừ vectơ

Cộng vectơ: Nếu có hai vectơ \(\vec{u} = \langle u_1, u_2, u_3 \rangle\) và \(\vec{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle\), thì tổng của chúng được tính theo công thức:

\(\vec{u} + \vec{v} = \langle u_1 + v_1, u_2 + v_2, u_3 + v_3 \rangle\)

Trừ vectơ: Nếu có hai vectơ \(\vec{u} = \langle u_1, u_2, u_3 \rangle\) và \(\vec{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle\), thì hiệu của chúng được tính theo công thức:

\(\vec{u} - \vec{v} = \langle u_1 - v_1, u_2 - v_2, u_3 - v_3 \rangle\)

2.2. Nhân vectơ với một số

Nếu vectơ \(\vec{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle\) và kk là một số thực, thì nhân vectơ với một số \(k\) được tính theo công thức:

\(k \cdot \vec{v} = \langle k \cdot v_1, k \cdot v_2, k \cdot v_3 \rangle\)

2.3. Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng (hay còn gọi là tích trong) của hai vectơ \(\vec{u} = \langle u_1, u_2, u_3 \rangle\) và \(\vec{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle\) được tính bằng công thức:

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3\)

Tích vô hướng của hai vectơ cũng có thể được dùng để tính góc giữa hai vectơ, với công thức:

\(\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}\)

Trong đó, \(\theta\) là góc giữa hai vectơ \(\vec{u}\) và\( \vec{v}.\)

2.4. Tích có hướng của hai vectơ

Tích có hướng (hay còn gọi là tích vectơ) của hai vectơ \(\vec{u} = \langle u_1, u_2, u_3 \rangle\) và \(\vec{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle\) được tính theo công thức:

\(\vec{u} \times \vec{v} = \langle u_2 v_3 - u_3 v_2, u_3 v_1 - u_1 v_3, u_1 v_2 - u_2 v_1 \rangle\)

Tích vectơ của hai vectơ trong không gian 3D tạo ra một vectơ vuông góc với cả hai vectơ ban đầu. Tích vectơ có ứng dụng trong các bài toán về lực và mô men.

3. Dạng bài và bài tập ví dụ

3.1. Dạng bài tập về cộng và trừ vectơ

Ví dụ 1: Cho hai vectơ \(\vec{u} = \langle 3, 5, -2 \rangle \)và \(\vec{v} = \langle -1, 4, 3 \rangle.\) Tính tổng\(\vec{u} + \vec{v}.\)

Giải: Áp dụng công thức cộng vectơ:

\(\vec{u} + \vec{v} = \langle 3 + (-1), 5 + 4, -2 + 3 \rangle = \langle 2, 9, 1 \rangle\)

Vậy tổng của hai vectơ là \(\langle 2, 9, 1 \rangle\).

Ví dụ 2: Cho hai vectơ \(\vec{a} = \langle 4, -2, 1 \rangle\) và \(\vec{b} = \langle 2, 3, 5 \rangle\). Tính hiệu \(\vec{a} - \vec{b}.\)

Giải: Áp dụng công thức trừ vectơ:

\(\vec{a} - \vec{b} = \langle 4 - 2, -2 - 3, 1 - 5 \rangle = \langle 2, -5, -4 \rangle\)

Vậy hiệu của hai vectơ là \(\langle 2, -5, -4 \rangle.\)

3.2. Dạng bài tập về nhân vectơ với một số

Ví dụ 3: Cho vectơ \(\vec{u} = \langle 2, -3, 4 \rangle\) và \(k = 3\). Tính \(3 \cdot \vec{u}.\)

Giải: Áp dụng công thức nhân vectơ với một số:

\(3 \cdot \vec{u} = 3 \cdot \langle 2, -3, 4 \rangle = \langle 6, -9, 12 \rangle\)

Vậy vectơ \(3 \cdot \vec{u}\) là \(\langle 6, -9, 12 \rangle.\)

3.3. Dạng bài tập về tích vô hướng

Ví dụ 4: Cho hai vectơ \(\vec{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle\) và \(\vec{v} = \langle 4, 5, 6 \rangle\). Tính tích vô hướng \(\vec{u} \cdot \vec{v}.\)

Giải: Áp dụng công thức tính tích vô hướng:

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 4 + 10 + 18 = 32\)

Vậy tích vô hướng của hai vectơ là 32.

3.4. Dạng bài tập về tích có hướng

Ví dụ 5: Cho hai vectơ \(\vec{u} = \langle 1, 0, -1 \rangle\) và \(\vec{v} = \langle 2, -3, 4 \rangle\). Tính tích có hướng \(\vec{u} \times \vec{v}.\)

Giải: Áp dụng công thức tính tích có hướng:

\(\vec{u} \times \vec{v} = \langle 0 \cdot 4 - (-1) \cdot (-3), (-1) \cdot 2 - 1 \cdot 4, 1 \cdot (-3) - 0 \cdot 2 \rangle \vec{u} \times \vec{v} = \langle 0 - 3, -2 - 4, -3 - 0 \rangle = \langle -3, -6, -3 \rangle\)

Vậy tích có hướng của hai vectơ là \(\langle -3, -6, -3 \rangle.\)

4. Tự luyện tập và nâng cao

Sau khi thực hiện các bài tập cơ bản trên, bạn có thể tiếp tục luyện tập với các bài toán nâng cao để củng cố kiến thức về vectơ trong không gian. Dưới đây là một số bài tập nâng cao:

Tính góc giữa hai vectơ cho trước bằng cách sử dụng công thức tích vô hướng.

Tính độ dài của một vectơ trong không gian khi biết tọa độ của các điểm đầu và cuối của vectơ đó.

Giải các bài toán ứng dụng liên quan đến vectơ trong các lĩnh vực như vật lý, địa lý hoặc các bài toán hình học không gian.

Thực hiện các bài tập với các phép toán kết hợp giữa cộng, trừ và nhân vectơ trong không gian.

5. Kết luận

Vectơ trong không gian là một chủ đề quan trọng trong toán học lớp 6, với các phép toán cơ bản như cộng, trừ, nhân với một số, tích vô hướng và tích có hướng. Những khái niệm này không chỉ có ứng dụng trong các bài toán lý thuyết mà còn giúp giải quyết các vấn đề thực tiễn trong các lĩnh vực như vật lý, hình học không gian và nhiều lĩnh vực khác. Thực hiện các bài tập sẽ giúp học sinh làm quen và nắm vững các kiến thức cần thiết về vectơ trong không gian.

Toán 12