Bài 11 - Ước Chung và Ước Chung Lớn Nhất
I. Lý Thuyết
1. Khái niệm ước chung
Ước chung của hai hay nhiều số là những số vừa là ước của từng số trong các số đó.
Ví dụ: Tìm ước chung của 12 và 18:
Các ước của 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Các ước của 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Ước chung của 12 và 18 là 1, 2, 3, 6.
2. Khái niệm ước chung lớn nhất (ƯCLN)
Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.
Ví dụ: Với các số 12 và 18, các ước chung là 1, 2, 3, 6. Vậy \({ƯCLN}(12, 18) = 6\)
II. Cách Tìm ƯCLN
1. Phương pháp liệt kê ước
Liệt kê tất cả các ước của từng số.
Xác định tập hợp các ước chung.
Tìm số lớn nhất trong tập hợp các ước chung.
Ví dụ: Tìm ƯCLN của 20 và 30:
Các ước của 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
Các ước của 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
Ước chung: 1, 2, 5, 10.
\(\text{ƯCLN}(20, 30) = 10\)
2. Phương pháp phân tích ra thừa số nguyên tố
Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.
Chọn các thừa số nguyên tố chung với số mũ nhỏ nhất.
Tính tích các thừa số này.
Ví dụ: Tìm ƯCLN của 36 và 48:
Phân tích: \(36 = 2^2 \cdot 3^2\), \(48 = 2^4 \cdot 3\)
Các thừa số nguyên tố chung: 2, 3.
Lấy số mũ nhỏ nhất: \(2^2 \)và \(3^1\).
\({ƯCLN}(36, 48) = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12.\)
3. Thuật toán Euclid Thuật toán Euclid dựa trên phép chia để tìm ƯCLN của hai số a và b (a>b):
Chia aa cho b và lấy số dư r.
Thay a bằng b, bb bằng r, và lặp lại đến khi r=0.
Khi r = 0, b là ƯCLN.
Ví dụ: Tìm ƯCLN của 56 và 42:
\(56 \div 42 = 1\), dư 14.
\(42 \div 14 = 3\), dư 0.
Vậy\({ƯCLN}(56, 42) = 14.\)
III. Bài Tập
Bài 1: Tìm ước chung của các số sau:
a) 24 và 36.
b) 15, 20, và 25.
Bài 2: Tìm ƯCLN của các cặp số sau:
a) 42 và 56.
b) 60 và 72.
c) 100 và 150.
Bài 3: Sử dụng phương pháp phân tích thừa số nguyên tố, tìm ƯCLN của:
a) 40, 60.
b) 54, 81.
Bài 4: Áp dụng thuật toán Euclid để tìm ƯCLN của:
a) 98 và 35.
b) 120 và 45.
IV. Lời Giải Bài Tập Mẫu
Bài 2.
Tìm ƯCLN của 42 và 56 bằng thuật toán Euclid:
\(56 \div 42 = 1\), dư 14.
\(42 \div 14 = 3\), dư 0.
\({ƯCLN}(42, 56) = 14\).
Bài 3.
Phân tích 40 và 60 ra thừa số nguyên tố:
\(40 = 2^3 \cdot 5\),
\(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\).
Thừa số chung: 2 (mũ nhỏ nhất là \(2^2\)) và 5.
\(\text{ƯCLN}(40, 60) = 2^2 \cdot 5 = 20\).
Bài 4.
Áp dụng thuật toán Euclid với 98 và 35:
\(98 \div 35 = 2\), dư 28.
\(35 \div 28 = 1\), dư 7.
\(28 \div 7 = 4\), dư 0.
\({ƯCLN}(98, 35) = 7\)
V. Ghi Nhớ
Ước chung là số vừa chia hết các số đã cho.
ƯCLN là ước chung lớn nhất trong các ước chung.
Có ba cách chính để tìm ƯCLN: liệt kê ước, phân tích thừa số nguyên tố, và thuật toán Euclid.
tài liệu toán 6
