Bài 9: Hai Đường Thẳng Song Song và Dấu Hiệu Nhận Biết (Toán 7 - Kết nối tri thức)
Mục Tiêu Học Tập
Sau khi học bài này, học sinh sẽ có khả năng:
Hiểu và nhận biết hai đường thẳng song song.
Áp dụng các dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.
Làm quen với các bài toán liên quan đến hai đường thẳng song song và các tính chất của chúng.
1. Định Nghĩa Hai Đường Thẳng Song Song
Hai đường thẳng được gọi là song song nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không bao giờ cắt nhau, dù kéo dài vô hạn về cả hai phía. Nói cách khác, hai đường thẳng song song luôn giữ khoảng cách cố định và không có điểm chung nào.
Ký hiệu:\(a \parallel b\) nghĩa là đường thẳng \(a\) song song với đường thẳng \(b\).
2. Dấu Hiệu Nhận Biết Hai Đường Thẳng Song Song
Để nhận biết hai đường thẳng song song, ta có thể sử dụng các dấu hiệu sau:
2.1. Dấu hiệu nhận biết qua góc trong cùng phía
Nếu hai đường thẳng bị cắt bởi một đường thẳng thứ ba, gọi là đường cắt, và các góc trong cùng phía (góc đồng vị) có giá trị bằng nhau, thì hai đường thẳng này là song song.
Công thức: Nếu \(a \parallel b\) và \(c\) là đường cắt, thì \(\angle_1 = \angle_2\), tức là góc trong cùng phía có độ lớn bằng nhau.
2.2. Dấu hiệu nhận biết qua góc ngoài
Tương tự, nếu hai đường thẳng bị cắt bởi một đường cắt và các góc ngoài (góc đồng vị ngoài) có độ lớn bằng nhau, thì hai đường thẳng này là song song.
Công thức: Nếu \(a \parallel b\) và \(c\) là đường cắt, thì \(\angle_3 = \angle_4\), tức là góc ngoài có độ lớn bằng nhau.
2.3. Dấu hiệu nhận biết qua góc đồng vị
Khi hai đường thẳng bị cắt bởi một đường cắt, nếu các góc đồng vị có độ lớn bằng nhau thì hai đường thẳng là song song.
Công thức: Nếu \(a \parallel b\) và \(c\) là đường cắt, thì \(\angle_1 = \angle_2\) và \(\angle_3 = \angle_4\), tức là các góc đồng vị có độ lớn bằng nhau.
2.4. Dấu hiệu nhận biết qua góc vuông
Nếu một trong hai đường thẳng bị cắt bởi một đường thẳng thứ ba tạo ra một góc vuông với cả hai đường thẳng, thì hai đường thẳng này là song song.
Công thức: Nếu \(a \perp c\) và \(b \perp c\), thì \(a \parallel b\).
3. Các Tính Chất Của Hai Đường Thẳng Song Song
3.1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách ngắn nhất giữa chúng, được đo vuông góc với cả hai đường thẳng.
3.2. Các góc tương ứng
Khi hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường cắt, ta có một số cặp góc có quan hệ với nhau. Các cặp góc này bao gồm:
Các góc đồng vị
Các góc so le trong
Các góc so le ngoài
Các góc phụ
3.3. Các đường thẳng song song với một đường thẳng thứ ba
Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song, thì nó cắt chúng tạo thành các góc có các đặc điểm liên quan đến dấu hiệu nhận biết.
4. Các Bài Tập Ví Dụ
Ví dụ 1: Nhận biết hai đường thẳng song song qua góc đồng vị
Cho hai đường thẳng \(a \parallel b\), bị cắt bởi một đường thẳng \(c\). Biết rằng \(\angle_1 = 60^\circ\). Tính các góc còn lại.
Giải:
\(\angle_1 = 60^\circ\), vì các góc đồng vị có độ lớn bằng nhau, nên \(\angle_2 = 60^\circ\).
Các góc đối đỉnh cũng có độ lớn bằng nhau, nên \(\angle_3 = 60^\circ\) và \(\angle_4 = 60^\circ\).
Ví dụ 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Cho hai đường thẳng song song \(a \parallel b\) và một đường cắt \(c\). Khoảng cách giữa đường thẳng \(a\) và \(b\) được cho bởi một đoạn thẳng \(d\) vuông góc với cả hai đường thẳng. Tính \(d\).
Giải: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song có thể tính bằng cách sử dụng công thức:
Trong đó, \(A, B, C\) là các hệ số của phương trình đường thẳng, và \((x_1, y_1)\) là tọa độ của một điểm trên đường thẳng.
Ví dụ 3: Sử dụng dấu hiệu nhận biết góc vuông
Cho ba đường thẳng \(a, b, c\) sao cho \(a \perp c\) và \(b \perp c\). Chứng minh rằng \(a \parallel b\).
Giải:
Ta có \(a \perp c\) và \(b \perp c\), tức là cả hai đường thẳng đều vuông góc với \(c\).
Theo định lý về các đường thẳng vuông góc, hai đường thẳng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. Do đó, \(a \parallel b\).
5. Tự Luyện
Bài Tập 1: Đánh dấu hai đường thẳng song song
Cho hình vẽ sau, trong đó có ba đường thẳng \(a\), \(b\), và \(c\) với \(a \parallel b\). Xác định góc đồng vị, góc so le trong và góc so le ngoài giữa các đường thẳng.
Bài Tập 2: Áp dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh
Cho ba đường thẳng \(a\), \(b\), và \(c\) cắt nhau tạo thành các góc. Dùng dấu hiệu nhận biết góc đồng vị và góc so le trong để chứng minh rằng \(a \parallel b\).
Bài Tập 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Cho hai đường thẳng song song \(a \parallel b\) và một đường thẳng \(c\) cắt cả hai. Tính khoảng cách giữa \(a\) và \(b\) khi biết tọa độ của ba điểm trên các đường thẳng này.
6. Bài Tập Nâng Cao
Bài Tập 1: Chứng minh các tính chất của đường thẳng song song
Chứng minh rằng nếu hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng thứ ba, thì các góc đối đỉnh sẽ có độ lớn bằng nhau.
Bài Tập 2: Tìm các góc trong bài toán thực tế
Trong một bài toán hình học thực tế, nếu hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng, hãy tính các góc liên quan và sử dụng các dấu hiệu nhận biết để tìm các cặp góc đồng vị, góc so le trong và góc so le ngoài.
Bài Tập 3: Bài toán thực tế với áp dụng dấu hiệu nhận biết
Bài toán thực tế yêu cầu xác định xem hai đường thẳng có song song hay không dựa trên các góc đã cho trong một hình vẽ cụ thể. Sử dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh điều này.
7. Kết Luận
Qua bài học này, học sinh đã được làm quen với các khái niệm và dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song. Bằng cách áp dụng các dấu hiệu nhận biết như góc đồng vị, góc so le trong, và các tính chất của hai đường thẳng song song, học sinh có thể giải quyết các bài toán liên quan đến hai đường thẳng song song trong hình học.
