Trong toán học lớp 6, một trong những chủ đề quan trọng là tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Đây là phần kiến thức cơ bản nhưng cần thiết để hiểu rõ hơn về sự biến đổi của hàm số và tính chất của các điểm đặc biệt trên đồ thị của hàm. Việc nắm vững lý thuyết về tính đơn điệu và cực trị sẽ giúp học sinh có thể giải quyết các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số một cách hiệu quả.
1. Tính Đơn Điệu của Hàm Số
Hàm số được gọi là đơn điệu trong một khoảng nếu trong khoảng đó, giá trị của hàm số luôn thay đổi theo một cách cụ thể, có thể là tăng dần hoặc giảm dần. Tính đơn điệu của hàm số liên quan trực tiếp đến đạo hàm của hàm số đó.
Hàm số tăng: Hàm số\(f(x) \)được gọi là tăng trong khoảng \((a, b)\) nếu với mọi \(x_1, x_2 \in (a, b) mà x_1 < x_2, thì f(x_1) < f(x_2).\)
Hàm số giảm: Hàm số \(f(x)\) được gọi là giảm trong khoảng \((a,b)\) nếu với mọi \(x_1, x_2 \in (a, b) mà x_1 < x_2, thì (x_1) > f(x_2).\)
Khi nói đến tính đơn điệu của một hàm số, chúng ta cần xét đến dấu của đạo hàm của hàm số đó.
Hàm số tăng khi \(f'(x) > 0\) trong khoảng \((a, b).\)
Hàm số giảm khi \(f'(x) < 0\) trong khoảng \((a, b).\)
Khi \(f'(x) = 0\), hàm số có thể không tăng hay giảm, mà có thể là một điểm cực trị hoặc điểm yên lặng của hàm.
Ví dụ:
Xét hàm số\(f(x) = 2x + 3\), ta có đạo hàm\( f'(x) = 2.\)
Vì đạo hàm của hàm số là một hằng số dương (2), hàm số \(f(x) = 2x + 3\) là hàm số tăng trên toàn bộ tập xác định của nó.
2. Cực Trị của Hàm Số
Cực trị của hàm số là những điểm mà tại đó, giá trị của hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong một khoảng nhất định. Cực trị có thể là cực đại hoặc cực tiểu.
Cực đại: Là điểm mà tại đó giá trị của hàm số đạt giá trị lớn nhất trong một khoảng hoặc trong toàn bộ miền xác định.
Cực tiểu: Là điểm mà tại đó giá trị của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trong một khoảng hoặc trong toàn bộ miền xác định.
Để xác định cực trị của một hàm số, ta sử dụng đạo hàm và các điều kiện sau:
Nếu \(f'(x) = 0\) tại một điểm x0x_0 và \(f''(x_0) > 0\), thì \(x_0\) là điểm cực tiểu.
Nếu \(f'(x) = 0\) tại một điểm \(x_0 và f''(x_0) < 0\), thì \(x_0\) là điểm cực đại.
Nếu \(f'(x) = 0\) tại một điểm \(x_0\) và\(f''(x_0) = 0\), thì không thể xác định cực trị chỉ từ đạo hàm bậc hai, cần phải xét thêm các điều kiện khác.
Ví dụ:
Xét hàm số\(f(x) = x^2 - 4x + 3.\)
Tính đạo hàm: \(f'(x) = 2x - 4\)
Tìm điểm cực trị: Đặt\(f'(x) = 0\), ta có: \(2x - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2\)
Tính đạo hàm bậc hai: \(f''(x) = 2\) Vì \(f''(2) = 2 > 0\), nên điểm \(x = 2\) là điểm cực tiểu.
3. Phân Loại Các Dạng Bài Tập
Để học tốt về tính đơn điệu và cực trị của hàm số, học sinh cần làm quen với nhiều dạng bài tập khác nhau. Dưới đây là một số dạng bài và cách giải quyết.
Dạng 1: Xác định tính đơn điệu của hàm số
Bài tập yêu cầu học sinh xác định tính đơn điệu của một hàm số trong một khoảng cho trước.
Bài tập ví dụ 1: Xác định tính đơn điệu của hàm số \(f(x) = -x^2 + 4x - 3\) trên khoảng\((-\infty, +\infty).\)
Cách giải:
Tính đạo hàm của hàm số: \(f'(x) = -2x + 4\)
Giải bất phương trình \(f'(x) > 0\) để tìm khoảng hàm số tăng: \(-2x + 4 > 0 \quad \Rightarrow \quad x < 2\) Vậy hàm số tăng trên khoảng\( (-\infty, 2)\).
Giải bất phương trình \(f'(x) < 0\) để tìm khoảng hàm số giảm: \(-2x + 4 < 0 \quad \Rightarrow \quad x > 2\) Vậy hàm số giảm trên khoảng \((2, +\infty)\).
Dạng 2: Xác định cực trị của hàm số
Bài tập yêu cầu học sinh tìm các điểm cực trị của một hàm số.
Bài tập ví dụ 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x.\)
Cách giải:
Tính đạo hàm bậc nhất: \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)
Giải phương trình\(f'(x) = 0\) để tìm các điểm nghi ngờ là cực trị: \(3x^2 - 6x + 2 = 0\) Dùng công thức nghiệm phương trình bậc hai: \(x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(3)(2)}}{2(3)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6}\) Ta có nghiệm \(x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}\), tức là\(x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\) và\(x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}.\)
Tính đạo hàm bậc hai:\( f''(x) = 6x - 6\)
Xét giá trị của đạo hàm bậc hai tại các điểm \(x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\) và \(x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\) để xác định cực trị.
Dạng 3: Xác định điểm cực trị và giá trị hàm tại cực trị
Bài tập yêu cầu học sinh không chỉ tìm điểm cực trị mà còn phải tính giá trị của hàm tại các điểm đó.
Bài tập ví dụ 3: Tìm các điểm cực trị và giá trị cực trị của hàm số \(f(x) = 2x^2 - 4x + 1.\)
Cách giải:
Tính đạo hàm bậc nhất: \(f'(x) = 4x - 4\)
Giải phương trình \(f'(x) = 0: 4x - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1\)
Tính đạo hàm bậc hai: \(f''(x) = 4\) Vì \(f''(1) = 4 > 0\), nên điểm \(x = 1\) là điểm cực tiểu.
Tính giá trị của hàm tại \(x = 1\): \(f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1 \)Vậy, điểm cực tiểu của hàm là \((1, -1).\)
4. Bài Tập Tự Luyện
Bài tập 1: Xác định tính đơn điệu và cực trị của hàm số \(f(x) = x^2 - 6x + 9.\)
Bài tập 2: Tìm các điểm cực trị và tính giá trị cực trị của hàm số \(f(x) = 3x^3 - 6x^2 + 4x.\)
Bài tập 3: Xác định các khoảng mà hàm số \(f(x) = -2x^2 + 4x\) tăng hoặc giảm.
5. Bài Tập Nâng Cao
Bài tập nâng cao 1: Tìm cực trị của hàm số \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2\) và xác định tính chất của các điểm cực trị.
Bài tập nâng cao 2: Xác định các điểm cực trị của hàm số \(f(x) = \ln(x) - 2x\) và xác định loại cực trị.
6. Kết Luận
Việc nắm vững lý thuyết về tính đơn điệu và cực trị của hàm số là một kỹ năng quan trọng trong toán học. Việc luyện tập nhiều bài tập sẽ giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách áp dụng lý thuyết vào các bài toán thực tế.
