CHỦ ĐỀ 7: TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
Nếu \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} \) thì: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{a+c+e}{b+d+f} = \frac{a-c+e}{b-d+f} \) *(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa, tức là các mẫu số khác 0)*
2. Chú ý:
Khi ta nói các số x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c, điều này có nghĩa là: \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} \) hoặc viết dưới dạng: \(x : y : z = a : b : c\)
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Tìm các số chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau
Phương pháp giải:
Để tìm số chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau, ta thường làm như sau:
Cách 1. Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, biến đổi để xuất hiện điều kiện đã cho của đề bài. Từ đó tính được giá trị của dãy tỉ số bằng nhau.
Cách 2. Phương pháp "đặt k" theo 3 bước sau:
- Bước 1. Đặt \( \frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = k. \) - Bước 2. Rút: \( x = a \cdot k; y = b \cdot k; z = c \cdot k. \) - Bước 3. Thay các giá trị trên của x, y, z vào điều kiện đã cho của đề bài, tìm được giá trị của k. Từ đó suy ra các giá trị của x, y, z.
1A.
a) Cho \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b}\). Tìm x, y biết:
i) x + y = 90.
ii) 4x - y = 42.
iii) xy = 162.
iv) \(2x^2 - y^2 = -8. \) b) Cho \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}\). Tìm x, y, z biết:
i) x + y + z = 30.
ii) x - 2y + 3z = 22.
iii) xyz = -240.
iv) \(x^2 + 3y^2 - z^2 = 150. \) c) Cho 2x - 3y + z = 42. Tìm x, y, z biết:
i) \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b}. \) ii) \(\frac{y}{b} = \frac{z}{c}. \) iii) 6x = 4y = z.
iv) x = -2y; 7y = 2z.
1B.
a) Cho \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b}\). Tìm x, y biết:
i) x + y = 54.
ii) 3x - 2y = 8.
iii) xy = 80.
iv)\( x^2 - 3y^2 = -59. \) b) Cho \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}.\) Tìm x, y, z biết:
i) x + y + z = 56.
ii) x - 2y + 3z = -33.
iii) xyz = 720.
iv) \(x^2 - 4y^2 + 2z^2 = -475. \) c) Cho x - 2y + 3z = 56. Tìm x, y, z biết:
i)\( \frac{x}{a} = \frac{y}{b}. \) ii)\( \frac{y}{b} = \frac{z}{c}. \) iii) \(3x - 4y = 2z.
\) iv) \(2x = -3y; 7y = -10z. \)
Dạng 2. Giải các bài toán chia theo tỉ lệ
Phương pháp giải:
Để giải các bài toán chia theo tỉ lệ, ta thường làm như sau:
- Bước 1. Gọi các đại lượng cần tìm là x, y, z (tùy theo yêu cầu của đề bài).
- Bước 2. Từ điều kiện bài toán cho, đưa về dãy tỉ số bằng nhau.
- Bước 3. Sử dụng các phương pháp ở Dạng 1 để tìm x, y, z rồi kết luận.
2A.
An và Chi có số bi lần lượt tỉ lệ với 4; 5. Biết rằng An có số bi ít hơn Chi là 4 viên. Tính số viên bi của mỗi bạn.
2B.
Số sản phẩm của hai công nhân lần lượt tỉ lệ với 8; 5. Biết rằng người thứ nhất làm nhiều hơn người thứ hai 60 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi người làm được.
3A.
Các cạnh của một tam giác có số đo tỉ lệ với các số 3; 5; 7. Tính mỗi cạnh của tam giác đó biết chu vi của nó là 40,5cm.
3B.
Chia số 48 thành 4 phần tỉ lệ với các số 3; 5; 7; 9.
4A.
Ba lớp 7 có tất cả 135 học sinh. Số học sinh lớp 7A bằng số học sinh lớp 7B, số học sinh lớp 7B bằng số học sinh lớp 7C. Tính số học sinh mỗi lớp.
4B.
Chia số 237 thành ba phần. Biết phần thứ nhất và phần thứ hai tỉ lệ với 5 và 3; phần thứ hai và phần thứ ba tỉ lệ với 8 và 5. Tìm mỗi số.
---
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức từ tỉ lệ thức cho trước
Phương pháp giải:
Để chứng minh đẳng thức từ tỉ lệ thức cho trước, ta thường làm như sau:
Cách 1. Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để biến đổi dẫn đến đẳng thức cần chứng minh.
Cách 2. Dùng tính chất của tỉ lệ thức, nếu ad = bc thì \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}. \) Cách 3. Dùng phương pháp "đặt k" theo các bước sau:
- Bước 1. Đặt tỉ lệ thức ban đầu có giá trị bằng k.
- Bước 2. Biểu diễn tử theo tích của k với các mẫu tương ứng.
- Bước 3. Thay các giá trị vừa có vào đẳng thức cần chứng minh để dẫn đến một hệ thức đúng.
