Tìm ảnh của đường thẳng qua phép vị tự tâm O tỉ số k
Phép vị tự trong mặt phẳng
Phép vị tự là một phép biến hình trong mặt phẳng, trong đó mọi điểm đều được dời đi trên một đường thẳng qua tâm vị tự O theo một tỉ số k. Tỉ số k có thể dương hoặc âm:
. Nếu k > 0, điểm và ảnh cùng phía so với tâm vị tự O. . Nếu k < 0, điểm và ảnh khác phía so với tâm vị tự O. . Nếu k = 1, phép vị tự là phép đồng nhất. . Nếu k = -1, phép vị tự biến thành phép đối xứng qua tâm O.
Công thức vị tự
Cho điểm M(x, y). Ảnh của điểm M qua phép vị tự tâm O(0, 0) tỉ số k là điểm M'(x', y') được xác định bởi công thức:
x' = kx y' = ky
Nếu phép vị tự không có tâm O(0, 0), cần dịch chuyển về gốc tọa độ trước khi thực hiện phép biến hình.
Tính chất của đường thẳng qua phép vị tự
Phép vị tự biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
. Nếu đường thẳng ban đầu có phương trình y = mx + c, thì ảnh của nó qua phép vị tự tâm O tỉ số k có phương trình: y = mx + kc
. Nếu đường thẳng không đi qua tâm vị tự O, ảnh của nó vẫn là một đường thẳng song song với đường thẳng ban đầu.
Ví dụ minh họa
Bài 1 Tìm ảnh của đường thẳng y = 2x + 3 qua phép vị tự tâm O(0, 0) tỉ số k = 2.
Lời giải: Phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 biến phương trình đường thẳng thành: \(y = 2x + 2 . 3 = 2x + 6.\)
Bài 2 Tìm ảnh của đường thẳng y = -x + 5 qua phép vị tự tâm O(0, 0) tỉ số k = -1.
Lời giải: Phép vị tự tâm O tỉ số k = -1 biến phương trình đường thẳng thành: \(y = -x - 1 . 5 = -x - 5.\)
Bài 3 Tìm ảnh của đường thẳng y = 3x - 4 qua phép vị tự tâm O(0, 0) tỉ số k = 0.5.
Lời giải: Phép vị tự tâm O tỉ số k = 0.5 biến phương trình đường thẳng thành: \(y = 3x + 0.5 . -4 = 3x - 2.\)
Bài tập luyện tập
Bài 1 Tìm ảnh của đường thẳng y = x + 1 qua phép vị tự tâm O(0, 0) tỉ số k = 3.
Bài 2 Cho đường thẳng y = 2x - 5. Tìm ảnh của nó qua phép vị tự tâm O(0, 0) tỉ số k = -2.
Bài 3 Tìm ảnh của đường thẳng y = -3x + 7 qua phép vị tự tâm O(0, 0) tỉ số k = 0.25.
Bài 4 Cho đường thẳng y = 4x + 2. Tìm ảnh của nó qua phép vị tự tâm O(0, 0) tỉ số k = -0.5.
Bài 5 Tìm ảnh của đường thẳng y = -x - 3 qua phép vị tự tâm O(0, 0) tỉ số k = 1.5.
Bài 6 Cho đường thẳng y = 0.5x - 2. Tìm ảnh của nó qua phép vị tự tâm O(0, 0) tỉ số k = 4.
Bài 7 Tìm ảnh của đường thẳng y = -2x + 3 qua phép vị tự tâm O(0, 0) tỉ số k = -1.
Bài 8 Cho đường thẳng y = x - 6. Tìm ảnh của nó qua phép vị tự tâm O(0, 0) tỉ số k = 0.1.
Bài 9 Tìm ảnh của đường thẳng y = -4x + 5 qua phép vị tự tâm O(0, 0) tỉ số k = 2.5.
Bài 10 Cho đường thẳng y = 3x + 4. Tìm ảnh của nó qua phép vị tự tâm O(0, 0) tỉ số k = -0.75.
