Tập hợp là một khái niệm cơ bản trong toán học, được sử dụng để mô tả một nhóm các đối tượng có cùng một tính chất nào đó. Mỗi đối tượng trong tập hợp được gọi là một phần tử của tập hợp.
Cách biểu diễn tập hợp
Liệt kê phần tử: Các phần tử được liệt kê đầy đủ và phân cách nhau bằng dấu phẩy, đặt trong cặp dấu ngoặc nhọn { }. Ví dụ: Tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 5 là \(A = \{0, 1, 2, 3, 4\}.\)
Chỉ ra tính chất đặc trưng: Biểu diễn tập hợp bằng cách mô tả tính chất chung của các phần tử. Ví dụ: Tập hợp BB gồm các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 10 là\(B = \{x | x \text{ là số chẵn, } x < 10\}.\)
Ký hiệu
\(a \in A\): a là phần tử thuộc tập hợp A
\(b \notin A\): b không là phần tử thuộc tập hợp A
Tập hợp rỗng
Là tập hợp không chứa phần tử nào, ký hiệu \(∅hoặc \{ \}.\)
Số phần tử của tập hợp
Số phần tử của tập hợp là tổng số đối tượng có trong tập hợp đó. Nếu một tập hợp không có phần tử, số phần tử của nó bằng 0.
Các tập hợp số cơ bản
N: Tập hợp các số tự nhiên {0,1,2,3,…}
Z: Tập hợp các số nguyên {…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}
Q: Tập hợp các số hữu tỉ.
R: Tập hợp các số thực.
II. Các dạng bài tập về tập hợp
Dạng 1: Biểu diễn tập hợp
Cách làm:
Đọc kỹ đề bài để xác định cách biểu diễn tập hợp (liệt kê phần tử hoặc chỉ ra tính chất đặc trưng).
Nếu cần liệt kê phần tử, xác định rõ giới hạn và quy luật của các phần tử.
Nếu cần chỉ ra tính chất đặc trưng, diễn đạt bằng ngôn ngữ hoặc ký hiệu.
Ví dụ:
Biểu diễn tập hợp A gồm các số tự nhiên lớn hơn 2 và nhỏ hơn 7. Lời giải: A={3,4,5,6}
Biểu diễn tập hợp B gồm các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 10. Lời giải:\(B = \{x | x \text{ là số lẻ, } x < 10\} = \{1, 3, 5, 7, 9\}.\)
Bài tập tự luyện:
Biểu diễn tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 15.
Biểu diễn tập hợp các số nguyên lớn hơn -5 và nhỏ hơn 3.
Dạng 2: Xác định phần tử thuộc hoặc không thuộc tập hợp
Cách làm:
Kiểm tra xem đối tượng có thỏa mãn điều kiện của tập hợp hay không.
Sử dụng ký hiệu \(\in hoặc \notin.\)
Ví dụ:
Xét xem 5 có thuộc tập hợp A={1,2,3,4,5} không. Lời giải:\(5 \in A\) vì 5 là một phần tử của tập hợp A.
Xét xem −2 có thuộc tập hợp \(B = \{x | x \geq 0, x \in \mathbb{Z}\}\) không. Lời giải:\(-2 \notin B vì -2 không thỏa mãn điều kiện x \geq 0.\)
Bài tập tự luyện:
Kiểm tra xem 0 có thuộc tập hợp \(C = \{x | x > 0, x \in \mathbb{N}\}\) không.
Xét xem 7 có thuộc tập hợp D={2,4,6,8} không.
Dạng 3: So sánh hai tập hợp
Cách làm:
Xác định các phần tử của hai tập hợp.
So sánh các phần tử của hai tập hợp. Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B và ngược lại, thì A=B
Ví dụ:
So sánh tập hợp A={1,2,3} và B={3,2,1} Lời giải: A=B vì mọi phần tử của A đều thuộc B và ngược lại.
So sánh tập hợp \(C = \{x | x \text{ là số lẻ, } x < 5\}\) và D={1,3} Lời giải: C=D vì C và D có cùng các phần tử là {1,3}
Bài tập tự luyện:
So sánh tập hợp\(A = \{x | x \text{ là bội của 3, } x \leq 9\}\) và B={0,3,6,9}
So sánh tập hợp C={1,2,3} và D={1,2,3,4}
Dạng 4: Số phần tử của tập hợp
Cách làm:
Liệt kê đầy đủ các phần tử.
Đếm số phần tử hoặc xác định quy luật nếu tập hợp là vô hạn.
Ví dụ:
Tập hợp A={0,1,2,3} có bao nhiêu phần tử? Lời giải: Tập hợp A có 4 phần tử.
Tập hợp \(B = \{x | x \in \mathbb{N}, x < 10\}\) có bao nhiêu phần tử? Lời giải: B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, có 10 phần tử.
Bài tập tự luyện:
Xác định số phần tử của tập hợp \(C = \{x | x \text{ là số lẻ, } x < 15\}.\)
Xác định số phần tử của tập hợp \(D = \{x | x \in \mathbb{N}, 5 \leq x \leq 10\}.\)
Dạng 5: Tập hợp con
Cách làm:
Kiểm tra xem mọi phần tử của tập hợp A có thuộc tập hợp B không. Nếu đúng, thì \(A \subseteq B.\)
Ví dụ:
Xét xem A={1,2} có phải là tập hợp con của B={1,2,3,4}không. Lời giải: A⊆B vì mọi phần tử của A đều thuộc B.
Xét xem C={1,5}C có phải là tập hợp con của D={1,2,3,4} không. Lời giải: C⊈D vì 5∉D
Bài tập tự luyện:
Kiểm tra xem A={2,4,6} có phải là tập hợp con của B={2,4,6,8} không.
Xét xem \(C = \{x | x \text{ là số chẵn, } x < 5\}\) có phải là tập hợp con của D={0,2,4,6} không.
Bài tập nâng cao:
Biểu diễn tập hợp \(E = \{x | x^2 < 16, x \in \mathbb{Z}\}\).
So sánh tập hợp\(F = \{x | x \text{ là bội số của 3, } x \leq 15\}\) và G={0,3,6,9,12,15}
Xác định tập hợp \(H = \{x | x \in \mathbb{N}, 2x - 1 < 10\}.\)
Tài liệu trên cung cấp đầy đủ kiến thức lý thuyết, phân dạng bài tập, ví dụ minh họa, bài tập tự luyện và nâng cao để học sinh hiểu sâu và làm chủ kiến thức về tập hợp.
