Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có hai ước là 1 và chính nó. Hay nói cách khác, số nguyên tố chỉ chia hết cho 1 và chính nó.
Ví dụ:
\(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, \ldots\) là các số nguyên tố.
Số không là số nguyên tố
Số tự nhiên lớn hơn 1 nhưng không phải là số nguyên tố được gọi là hợp số. Số 1 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số.
Ví dụ:
\(4, 6, 8, 9, 10, 12, \ldots\) là các hợp số.
Cách kiểm tra một số có phải là số nguyên tố
Kiểm tra ước số: Một sốn > 1 là số nguyên tố nếu nó không chia hết cho bất kỳ số tự nhiên nào từ 2 đến\( \sqrt{n}\).
Phương pháp kiểm tra thủ công:
Bước 1: Xác định xem số đó có lớn hơn 1.
Bước 2: Thử chia số đó lần lượt cho các số nguyên từ 2 đến \(\sqrt{n}\).
Bước 3: Nếu không chia hết cho bất kỳ số nào trong khoảng đó, số đó là số nguyên tố.
Ví dụ: Kiểm tra 29 có phải là số nguyên tố:
Các số từ 2 đến \(\sqrt{29} \approx 5.38\) là 2, 3, 4, 5.
29 không chia hết cho 2, 3, 4, 5, nên 29 là số nguyên tố.
Tính chất của số nguyên tố
Số nguyên tố nhỏ nhất là 2. Đây cũng là số nguyên tố chẵn duy nhất.
Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều là số lẻ.
Có vô hạn số nguyên tố (đã được chứng minh bởi nhà toán học Euclid).
Hai số nguyên tố liên tiếp chỉ cách nhau 2 được gọi là "cặp số nguyên tố sinh đôi". Ví dụ: 3 và 5, 11 và 13, 17 và 19.
Phân tích một số thành tích các thừa số nguyên tố
Mỗi số tự nhiên lớn hơn 1 đều có thể phân tích duy nhất thành tích của các số nguyên tố (không kể thứ tự các thừa số). Đây là Định lý cơ bản của số học.
Ví dụ:
\(60 = 2^2 \times 3 \times 5\)
\(84 = 2^2 \times 3 \times 7\)
Bài tập
Xác định các số nguyên tố trong dãy số: 15, 23, 31, 42, 53, 66.
Phân tích các số sau thành tích các thừa số nguyên tố:
90
120
225
Chứng minh rằng 2n - 1 không phải là số nguyên tố khi n = 6.
Lời giải mẫu cho bài tập
Với dãy 15, 23, 31, 42, 53, 66:
15: Không phải số nguyên tố vì chia hết cho 3 và 5.
23: Là số nguyên tố vì không chia hết cho 2, 3, 5.
31: Là số nguyên tố vì không chia hết cho 2, 3, 5.
42: Không phải số nguyên tố vì chia hết cho 2 và 3.
53: Là số nguyên tố vì không chia hết cho 2, 3, 5, 7.
66: Không phải số nguyên tố vì chia hết cho 2.
Phân tích thành thừa số nguyên tố:
\(90 = 2 \times 3^2 \times 5\)
\(120 = 2^3 \times 3 \times 5\)
\(225 = 3^2 \times 5^2\)
Với n = 6, \(2n - 1 = 2 \times 6 - 1 = 11\)
11 là số nguyên tố.
Ghi nhớ
Luôn kiểm tra số nguyên tố bằng cách chia đến\( \sqrt{n}\) thay vì toàn bộ các số nhỏ hơn nn.
Tập luyện phân tích thừa số giúp làm quen với các tính chất của số nguyên tố.
Định nghĩa số nguyên tố