Phân Thức Đại Số: Lý Thuyết, Phép Toán, Bài Tập và Giải Mẫu Toán 8

Phân Thức Đại Số: Lý Thuyết, Phép Toán, Bài Tập và Giải Mẫu Toán 8

Phân thức đại số

I. Lý thuyết về phân thức đại số

1. Định nghĩa phân thức đại số 
Phân thức đại số là biểu thức có dạng: 
\(\frac{P(x)}{Q(x)} \)
Trong đó:
- P(x) và Q(x) là hai đa thức, với Q(x) ≠ 0.

Ví dụ về phân thức đại số: 
\(\frac{2x + 3}{x^2 - 1} \frac{5x}{x + 2} \)
2. Các phép toán với phân thức đại số

a) Cộng và trừ phân thức đại số 
Để cộng hoặc trừ các phân thức đại số, ta cần đưa các phân thức về cùng một mẫu số chung, rồi cộng hoặc trừ tử số. 
Công thức chung: 
\(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \)
Ví dụ: 
Tính tổng \(\frac{3}{x+1} + \frac{5}{x-2} \)
Để cộng hai phân thức này, ta đưa về cùng một mẫu số chung: 
\(\frac{3}{x+1} + \frac{5}{x-2} = \frac{3(x-2) + 5(x+1)}{(x+1)(x-2)} = \frac{3x - 6 + 5x + 5}{(x+1)(x-2)} = \frac{8x - 1}{(x+1)(x-2)}\)

b) Nhân phân thức đại số 
Khi nhân hai phân thức đại số, ta nhân tử số với tử số và mẫu số với mẫu số: 
\(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}\)

Ví dụ: 
Tính tích \(\frac{2x + 1}{x^2 - 1} \times \frac{x - 1}{x + 2} \)
Ta nhân tử số và mẫu số với nhau: 
\(\frac{2x + 1}{x^2 - 1} \times \frac{x - 1}{x + 2} = \frac{(2x+1)(x-1)}{(x^2-1)(x+2)} = \frac{2x^2 - 2x + x - 1}{(x-1)(x+1)(x+2)} = \frac{2x^2 - x - 1}{(x-1)(x+1)(x+2)} \)
c) Chia phân thức đại số 
Khi chia phân thức đại số, ta nhân phân thức thứ nhất với phân thức đảo ngược của phân thức thứ hai: 
\(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}\)

Ví dụ: 
Tính \(\frac{2x + 3}{x^2 - 4} \div \frac{x + 2}{x - 1} \)
Ta nhân phân thức thứ nhất với phân thức đảo ngược của phân thức thứ hai: 
\(\frac{2x + 3}{x^2 - 4} \div \frac{x + 2}{x - 1} = \frac{2x + 3}{x^2 - 4} \times \frac{x - 1}{x + 2} = \frac{(2x + 3)(x - 1)}{(x^2 - 4)(x + 2)} = \frac{2x^2 - 2x + 3x - 3}{(x - 2)(x + 2)(x + 2)} = \frac{2x^2 + x - 3}{(x - 2)(x + 2)^2}\)

3. Rút gọn phân thức đại số 
Để rút gọn phân thức đại số, ta cần phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử, sau đó giản ước các nhân tử chung nếu có.

Ví dụ: 
Rút gọn phân thức \(\frac{2x^2 + 4x}{x^2 + 3x + 2} \)
Ta phân tích tử số và mẫu số: 
\(\frac{2x^2 + 4x}{x^2 + 3x + 2} = \frac{2x(x + 2)}{(x + 1)(x + 2)} \)
Sau đó giản ước các nhân tử chung
Kết quả: 2x
II. Các dạng bài tập

1. Dạng 1: Cộng và trừ phân thức đại số

Đề bài mẫu: 
Tính tổng: 
\(\frac{2}{x + 3} + \frac{4}{x + 2}\)

Giải mẫu:
Để cộng hai phân thức này, ta đưa về cùng một mẫu số chung: 
\(\frac{2}{x + 3} + \frac{4}{x + 2} = \frac{2(x + 2) + 4(x + 3)}{(x + 3)(x + 2)} = \frac{2x + 4 + 4x + 12}{(x + 3)(x + 2)} = \frac{6x + 16}{(x + 3)(x + 2)}\)

Bài tập tự luyện: 
1. Tính \( \frac{3}{x - 1} + \frac{5}{x + 2} \)
2. Tính \(\frac{4}{x + 1} - \frac{7}{x + 3} \)
3. Tính \(\frac{1}{x - 2} + \frac{2}{x + 5}\)

2. Dạng 2: Nhân phân thức đại số

Đề bài mẫu: 
Tính tích: 
\(\frac{2x + 1}{x^2 - 1} \times \frac{x - 1}{x + 3}\)

Giải mẫu: 
Nhân tử số với tử số, mẫu số với mẫu số: 
\(\frac{2x + 1}{x^2 - 1} \times \frac{x - 1}{x + 3} = \frac{(2x + 1)(x - 1)}{(x^2 - 1)(x + 3)} = \frac{2x^2 - 2x + x - 1}{(x - 1)(x + 1)(x + 3)} = \frac{2x^2 - x - 1}{(x - 1)(x + 1)(x + 3)}\)

**Bài tập tự luyện:** 
1. Tính \(\frac{2x + 3}{x^2 - 4} \times \frac{x + 2}{x - 1} \)
2. Tính \(\frac{3x - 1}{x + 2} \times \frac{2x + 5}{x - 4} \)
3. Tính \(\frac{x + 4}{x^2 - 1} \times \frac{2x - 3}{x + 5}\)

3. Dạng 3: Rút gọn phân thức đại số

Đề bài mẫu: 
Rút gọn phân thức: 
\(\frac{3x^2 + 6x}{x^2 + 2x}\)

Giải mẫu: 
Phân tích tử số và mẫu số: 
\(\frac{3x^2 + 6x}{x^2 + 2x} = \frac{3x(x + 2)}{x(x + 2)} \)
Sau đó giản ước các nhân tử chung
= 3

Bài tập tự luyện:
1. Rút gọn \(\frac{5x^2 + 10x}{x^2 + 5x} \)
2. Rút gọn \(\frac{2x^2 - 8}{x^2 - 4} \)
3. Rút gọn \(\frac{3x^3 + 6x^2}{x^2(x + 2)}\)

III. Lời khuyên và định hướng học tập

Để học tốt phân thức đại số, bạn nên luyện tập thật nhiều với các bài tập khác nhau. Hãy làm quen với việc phân tích đa thức thành nhân tử và luôn tìm cách đơn giản hóa các phân thức. Bạn có thể tham khảo thêm tài liệu và bài tập từ Trang Chủ để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán. 

Tài liệu toán 8