Để xác định phươg trình đường cong dựa trên hình ảnh, một số kỹ thuật toán học đơn giản có thể được áp dụng.
Trong ví dụ này, chúng ta sẽ ước tính đường cong của cây cầu như hình.
Như chúng ta có thể thấy cả hai cung dường như vừa với đa thức bậc hai :
ax2 +bx+c
và chúng ta có thể căn cứ vào các phép tính của mình cho phù hợp:
Hình ảnh này cần được chuyển sang một mô hình toán học đơn giản hơn bằng cách chồng lên trên mặt phẳng tọa độ XY:
Vì đa thức bậc hai ax2 +bx +c có 3 hệ số a,b và c chưa biết nên chúng ta cần giải chúng để xác định đường cong.
Để làm điều này, trước tiên chúng ta phải vẽ 3 điểm trên ảnh phù hợp với cung dưới vì đó là cung mà chúng ta sẽ cố gắng xác định:
Chún ta có 3 điểm có tọa độ như trên hình : A(1,3), B(3,4), C(5,4.5).
Vì vậy chúng ta cần giải hệ 3 phương trình giải 3 để tìm hệ số a, b, c . Cần lưu ý rằng đây là những ước tính sơ bộ và trên thực tế cần được tính toán chính xác hơn. Bằng cách này, chúng ta có thể mong đợi một số sai lệch so với cung ban đầu ở đầu ra cuối cùng.
*Tọa độ A(1,3):
Vì: y=ax2 + bx + c
Tại y = 3, điều này dẫn đến:
3=a(12)+b(1)+c⇒a+b+c=3
*Tọa độ B(3,4):
Vì y=ax2 + bx + c Tại y = 4, điều này dẫn đến:
4=a(32)+b(3)+c⇒9a+3b+c=4
*Tọa độ C(5,4.5):
Vì y=ax2 + bx + c Tại y = 4,5, điều này dẫn đến:
4.5=a(52)+b(5)+c⇒25a+5b+c=4.5
Bây giờ chúng ta có 3 phương trình có thể giải được cho a, b, c:
a+b+c=3
9a+3b+c=4
25a+5b+c=4,5
Để giải hệ phương trình này, hệ phương trình này có thể được viết thành Ma trận 3x3 của các hệ số thay đổi và Ma trận 1x3 của các giá trị:
Các ma trận này hiển thị các hệ số của hệ thống ở bên trái và giá trị của chúng ở bên trái. Điều này được thực hiện vì nó cho phép chúng ta dễ dàng giải quyết chúng bằng cách triển khai Gaussian.
Để quá trình này xảy ra, ma trận bên trái cần được chuyển thành “dạng tam giác trên”, tức là khi góc dưới bên trái của ma trận là tập hợp các số 0 nên nó trông như thế này:
Điều này sẽ cho phép chúng ta giải một biến (dòng cuối cùng: 0a + 0b -5c = -15) và thay thế biến đó vào các phương trình khác để giải chúng.
Chúng ta sẽ thực hiện một tập hợp các thao tác hàng trên ma trận của mình để thực hiện việc này.
*Bước 1: Hàng #2 - 9 Hàng #1:
Ta có ma trận:
Bằng cách, Giữ nguyên hàng 1; Lấy hàng 2 -9, ta có:
Sau đó, bắt đầu quá trình chuyển đổi sang dạng tam giác trên bằng cách đặt giá trị đầu tiên của hàng thứ hai thành 0. Quá trình này được tiếp tục ở bước 2.
Bước 2: Thực hiện ở hàng thứ hai: Lấy Hàng #3;Cột #1 - 25; ta có:
ta có ma trận:
Bằng cách trừ 25 khỏi Hàng số 3, chúng ta có:
Bây giờ nó trông giống sơ đồ ở giai đoạn trước hơn. Hiện tại có 2 số 0 ban đầu, tuy nhiên số 0 thứ ba phức tạp hơn một chút vì thay vì trừ một số nguyên các hàng cho số khác, bước 3 sẽ bao gồm một lượng phân số.
Bước 3:Thực hiện hàng thứ 3
Ta có ma trận:
Lấy hàng 3 Trừ (10/3) * hàng 2. Ta có:
Vì hàng cuối cùng chỉ chứa một giá trị nên Ma trận đã được chuyển đổi thành dạng tam giác trên và giá trị của c bây giờ có thể được xác định.
Dòng cuối cùng cho thấy 0a+0b+2.6c=37/6 do đó c=185/78 và điều này có thể được thay thế vào các phương trình còn lại trong một quá trình được gọi là thay thế ngược.
Ma trận vẫn còn 2 phương trình chưa giải được và hiện có thể giải được:
−6b−8c=−23
a+b+c=3
Giải phương trình số 1:
Vì c=185/78:
−6b−8(185/78)=−23
b=0,671...
Giải phương trình số 2:
Vì c=185/78 và b=0.671 : a+0,671+(185/78)=3 a=−0,042
Bây giờ chúng ta có 3 giá trị cần thiết cho đa thức. Vì a, b, c đều biểu thị các hệ số của y=ax2 + bx +c nên chúng ta có câu trả lời cuối cùng:
