Lũy thừa với số mũ tự nhiên Khái niệm lũy thừa:
Lũy thừa là một cách viết gọn gàng để biểu diễn phép nhân của một số lặp lại nhiều lần. Nếu aa là một số thực và nn là một số tự nhiên, thì: \(a^n = \underbrace{a \times a \times \ldots \times a}_{n \text{ lần}}\)
Trong đó:
a: Cơ số.
n: Số mũ.
\(a^n\) : Lũy thừa bậc n của a.
Ví dụ:
\(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\)
\(
5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625\)
Các tính chất cơ bản của lũy thừa Tính chất 1: Tích của các lũy thừa cùng cơ số
\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
Với a≠0; m,n∈N
Ví dụ:
\(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128\)
\(5^2 \cdot 5^3 = 5^{2+3} = 5^5 = 3125\)
Tính chất 2: Lũy thừa của lũy thừa
\((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)
Với a≠0; m,n∈N
Ví dụ:
\((2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64\)
\((3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6 = 729\)
Tính chất 3: Lũy thừa của tích
\((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\)
Với a,b≠0, n∈N.
Ví dụ:
\((2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\)
\((5 \cdot 4)^3 = 5^3 \cdot 4^3 = 125 \cdot 64 = 8000\)
Tính chất 4: Lũy thừa của thương
\(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\)
Với a,b≠0, n∈N
Ví dụ:
\(\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}\)
\(\left(\frac{5}{2}\right)^3 = \frac{5^3}{2^3} = \frac{125}{8}\)
Tính chất 5: Lũy thừa với số mũ 0
\(a^0 = 1\)
Với a≠0.
Ví dụ:
\(3^0 = 1\)
\(7^0 = 1\)
Các dạng bài tập và bài tập ví dụ Dạng 1: Tính giá trị biểu thức lũy thừa
Phương pháp:
Áp dụng định nghĩa lũy thừa, tính toán trực tiếp theo thứ tự từ trong ra ngoài.
Ví dụ:
Tính \(3^4\) .
Lời giải: \(3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81.\)
Tính \((2^3)^2.\)
Lời giải: \((2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64.\)
Bài tập tự luyện:
Tính \(535^3\) .
Tính \((4^2)^3.\)
Tính \((2 \cdot 3)^2.\)
Dạng 2: So sánh hai lũy thừa
Phương pháp:
Trường hợp cơ số giống nhau: So sánh số mũ.\(a^m > a^n \) khi m>n.\(a^m < a^n\) khi m>n.
Trường hợp số mũ giống nhau: So sánh cơ số.\(a^n > b^n\) khi a>b.
Ví dụ:
So sánh \(3^4\) và \(3^5\) .
Lời giải: \(3^4 = 81\) và \(3^5 = 243\) . Do đó, \(3^4 < 3^5\) .
Bài tập tự luyện:
So sánh \(3^5\) và \(2^5\) .
Dạng 3: Tính giá trị biểu thức phức tạp
Phương pháp:
Thực hiện các phép tính lũy thừa trước, sau đó đến phép nhân, chia, cộng, trừ.
Áp dụng các tính chất của lũy thừa để rút gọn.
Ví dụ:
Tính giá trị của\(2^3 + 3^2.\)
Lời giải: \(2^3 + 3^2 = 8 + 9 = 17.\)
Tính \((2^2 \cdot 3^3) - 5^2.\)
Lời giải: \((2^2 \cdot 3^3) - 5^2 = (4 \cdot 27) - 25 = 108 - 25 = 83.\)
Bài tập tự luyện:
Tính \(3^3 + 4^2 - 2^3.\)
Tính \(5^2 \cdot 2^3 - 3^3.\)
Dạng 4: Ứng dụng vào bài toán thực tế
Phương pháp:
Sử dụng khái niệm và tính chất của lũy thừa để giải các bài toán liên quan đến số lượng tăng trưởng, diện tích, thể tích.
Ví dụ:
Một số nhân lên gấp đôi mỗi năm. Sau 4 năm, số lượng là bao nhiêu nếu ban đầu có 3 đơn vị?
Lời giải: Số lượng sau 4 năm là \(3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48.\)
Một khối lập phương có cạnh dài 3 cm. Tính thể tích của khối lập phương.
Lời giải: Thể tích là \(3^3 = 27 \, \text{cm}^3.\)
Bài tập tự luyện:
Một loại vi khuẩn tăng gấp 3 lần mỗi giờ. Sau 5 giờ, số lượng vi khuẩn là bao nhiêu nếu ban đầu có 2 vi khuẩn?
Một hình lập phương có cạnh dài 4 cm. Tính thể tích.
Bài tập nâng cao Chứng minh: Nếu a>0, thì \(a^n \cdot a^m = a^{n+m}.\)
Tìm x biết: \(2^x \cdot 2^3 = 2^7.\)
Rút gọn: \((3^2 \cdot 4^3)^2 \div (2 \cdot 3)^4.\)
Một người gửi tiết kiệm 100 triệu đồng với lãi suất 10%/năm. Số tiền sau 3 năm được tính bằng công thức: \(S = 100 \cdot (1.1)^n\) . Tính số tiền sau 3 năm.
Lời kết Lũy thừa với số mũ tự nhiên là một khái niệm quan trọng trong Toán học, không chỉ giúp chúng ta thực hiện các phép tính nhanh gọn hơn mà còn có nhiều ứng dụng trong thực tế. Nắm vững các tính chất, phương pháp giải bài tập, và luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn làm chủ phần kiến thức này.
tài liệu toán 6
Bài đăng trước Tất cả bài đăng Bài đăng tiếp theo 
