Câu 5: Cho a,b,c là các số không âm và không có hai số nào đồng thời bằng 0 . Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{{b^2} + {c^2}}} + \frac{1}{{{c^2} + {a^2}}} \ge \frac{{10}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}\,\left( * \right)\)
Giả sử:
\(c = \min \left\{ {a,\,b,\,c} \right\}\)
\(\begin{array}{l}
c \le a \Rightarrow {c^2} \le ac \Rightarrow {a^2} + {c^2} \le {a^2} + ac \le {\left( {a + \frac{c}{2}} \right)^2}\\
c \le b \Rightarrow {c^2} \le bc \Rightarrow {b^2} + {c^2} \le {b^2} + bc \le {\left( {b + \frac{c}{2}} \right)^2}\\
{a^2} + {b^2} \le {\left( {a + \frac{c}{2}} \right)^2} + {\left( {b + \frac{c}{2}} \right)^2}
\end{array}
\)
\(VT\left( * \right) \ge \frac{1}{{{{\left( {a + \frac{c}{2}} \right)}^2} + {{\left( {b + \frac{c}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {b + \frac{c}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + \frac{c}{2}} \right)}^2}}}\)
Đặt: \(x = a + \frac{c}{2};\,y = b + \frac{c}{2}\)
\(x > 0,\,y > 0\)
\(x + y = a + b + c\)
Ta có
\(VT\left( * \right) \ge \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}}\)
\(\begin{array}{l}
\ge \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{2}{{xy}} = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{2xy}} + \frac{3}{{2xy}} \ge \frac{4}{{{x^2} + {y^2} + 2xy}} + \frac{3}{{2xy}}\\
= \frac{4}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} + \frac{3}{{2xy}} \ge \frac{4}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} + 3.\frac{2}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \frac{{10}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \frac{{10}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}} = VP\left( * \right)
\end{array}%
\)
Dấu bằng xảy ra khi
\(\left\{ \begin{array}{l}
c = 0\\
x = y
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
c = 0\\
a = b
\end{array} \right.
\)
\(a,\,b,\,c\) bình đẳng nên dấu "=" của \(\left( * \right)\) xảy ra khi và chỉ khi trong ba số \(a,\,b,\,c\) có một số bằng 0 và hai số còn lại bằng nhau.
Hết phần 5
Tìm kiếm tài liệu học tập về chuyên đề, đề thi thử ôn thi vào 10 môn Toán
chuyên đề tam giác, các dạng bài tập về đường tròn, chứng minh tiếp xúc đường tròn ....
tất cả đều có tại https://tailieuthi.net/
Bài đăng trước Tất cả bài đăng Bài đăng tiếp theo 
