Đơn Thức và Đa Thức: Lý Thuyết & Bài Tập Toán 8

Đơn Thức và Đa Thức: Lý Thuyết & Bài Tập Toán 8

BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
Bài 1. ĐƠN THỨC VÀ ĐA THỨC NHIỀU BIẾN
1.    Đơn thức
•    Khái niệm:
Đơn thức là một biểu thức đại số gồm một số, một biến hoặc tích của một số với các biến, trong đó các biến có số mũ là số nguyên không âm.
•    Dạng tổng quát của đơn thức:
\(a \cdot x_1^{k_1} \cdot x_2^{k_2} \cdot \ldots \cdot x_n^{k_n}\)
Trong đó:
o    a là hệ số (một số thực).
o    \(x_1, x_2, ..., x_n \)là các biến.
o    \(k_1, k_2, ..., k_n\) là các số nguyên không âm.
•    Đơn thức thu gọn:
o    Là đơn thức mà tích các biến chỉ xuất hiện một lần. Ví dụ: Đơn thức chưa thu gọn \(2x^2 \cdot y \cdot x\) có thể thu gọn thành \(2x^3y.\)
o    Bậc của đơn thức: Là tổng số mũ của tất cả các biến trong đơn thức.
•    Ví dụ:
o    Đơn thức: \(5x^2y^3.\)
o    Hệ số: 5.
o    Bậc: 2 + 3 = 5.
•    Đơn thức đồng dạng:
Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có cùng phần biến (các biến giống nhau và số mũ tương ứng của các biến cũng giống nhau).
Ví dụ: \(3x^2y và -5x^2y\) là hai đơn thức đồng dạng.
2.    Đa thức
•    Khái niệm:
Đa thức là tổng của nhiều đơn thức. Mỗi đơn thức trong đa thức được gọi là một hạng tử của đa thức.
•    Dạng tổng quát của đa thức:
\(a_1 \cdot x_1^{k_1} \cdot x_2^{k_2} + a_2 \cdot x_3^{k_3} \cdot x_4^{k_4} + \ldots + a_n \cdot x_m^{k_m}\)
Trong đó:
o    Các a_i là hệ số.
o    Các x_j là biến, k_j là số nguyên không âm.
•    Ví dụ:
Đa thức: \(2x^3y + 3xy^2 - 5.\)
o    Các hạng tử: \(2x^3y, 3xy^2, -5. \)o    Số hạng: 3.
3.    Bậc của đa thức
•    Định nghĩa: Bậc của đa thức là bậc cao nhất trong các hạng tử của nó.
•    Cách tính: Xét tổng số mũ của từng hạng tử, bậc cao nhất trong các tổng này chính là bậc của đa thức.
•    Ví dụ:
Đa thức \(2x^3y + 3xy^2 - 5\) có các bậc:
o    Hạng tử\( 2x^3y\): bậc 4.
o    Hạng tử \(3xy^2\): bậc 3.
o    Hạng tử -5: bậc 0.
Bậc của đa thức: 4.
4.    Phân loại đa thức
•    Đa thức một biến: Là đa thức chỉ chứa một biến.
Ví dụ: \(3x^2 + 5x - 1.\)
•    Đa thức nhiều biến: Là đa thức chứa từ hai biến trở lên.
Ví dụ: \(x^2y + 2xy^2 - y^3.\)
5.    Biến đổi đa thức
•    Thu gọn đa thức: Nhóm các hạng tử đồng dạng lại với nhau, sau đó thực hiện phép tính giữa các hệ số của chúng.
Ví dụ: Thu gọn\( 2x^2 + 3x - x^2 + 5x \)thành \(x^2 + 8x.\)
•    Cộng, trừ đa thức:
o    Thực hiện phép cộng hoặc trừ các hệ số của những hạng tử đồng dạng.
Ví dụ: \((3x^2 + 2x + 1) + (x^2 - x - 3) = 4x^2 + x - 2.\)
•    Nhân đa thức:
o    Nhân từng hạng tử của đa thức thứ nhất với từng hạng tử của đa thức thứ hai, sau đó thu gọn kết quả.
Ví dụ: \((x + 1)(x - 2) = x^2 - 2x + x - 2 = x^2 - x - 2.\)
6.    Ứng dụng trong bài toán thực tế
•    Biểu diễn tổng diện tích, thể tích hay các đại lượng phức tạp.
•    Dự đoán xu hướng trong các bài toán quy hoạch và phân tích dữ liệu.
________________________________________
DẠNG 1: TÍNH BẬC CỦA ĐƠN THỨC
Đề bài mẫu: Xác định bậc của các đơn thức sau:
a) \(3x^2y^3z\)
b)\( -7x^3yz^2\)
Giải mẫu:
a) Bậc của \(3x^2y^3z \)là 2 + 3 + 1 = 6.
b) Bậc của \(-7x^3yz^2\) là 3 + 1 + 2 = 6.
Bài tập tự luyện:
1.    Tìm bậc của các đơn thức:
a) \(4x^2y^4\)
b) \(-5xyz^3\)
c) 6xy
________________________________________
DẠNG 2: THU GỌN VÀ NHẬN DẠNG ĐƠN THỨC
Đề bài mẫu: Thu gọn các đơn thức sau và xác định bậc của chúng:
a) \(2x^2y \cdot 3x^3y^2\)
b)\( -4x \cdot 5x^2y^3\)
Giải mẫu:
a) \(2x^2y \cdot 3x^3y^2 = (2 \cdot 3) \cdot x^{2+3} \cdot y^{1+2} = 6x^5y^3. \)Bậc: 5 + 3 = 8.
b) \(-4x \cdot 5x^2y^3 = (-4 \cdot 5) \cdot x^{1+2} \cdot y^3 = -20x^3y^3\). Bậc: 3 + 3 = 6.
Bài tập tự luyện:
1.    Thu gọn và tìm bậc của các đơn thức:
a\() x^2y \cdot y^3\)
b)\( -3x^3y^2 \cdot 4x^4y\)
c) \(5x^2z \cdot 2xz^3\)
________________________________________
DẠNG 3: TÍNH TỔNG, HIỆU CỦA ĐA THỨC
Đề bài mẫu: Tính tổng hoặc hiệu của các đa thức sau:
a) \((3x^2 + 5x + 1) + (2x^2 - 3x + 4)\)
b) \((4xy - 5x^2 + 6) - (3x^2 - xy + 2)\)
Giải mẫu:
a)\( (3x^2 + 5x + 1) + (2x^2 - 3x + 4) = (3x^2 + 2x^2) + (5x - 3x) + (1 + 4) = 5x^2 + 2x + 5.\)
b) \((4xy - 5x^2 + 6) - (3x^2 - xy + 2) = (4xy - (-xy)) + (-5x^2 - 3x^2) + (6 - 2) = 5xy - 8x^2 + 4.\)
Bài tập tự luyện:
1.    Tính tổng hoặc hiệu của các đa thức:
a)\( (x^3 + 2x^2 - x) + (3x^3 - x^2 + 5)\)
b) \((2xy - 3x^2 + 4) - (xy + 2x^2 - 6)\)
c)\( (5x^2 + 4x - 1) + (-2x^2 + 6x + 3)\)
________________________________________
DẠNG 4: NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
Đề bài mẫu: Thực hiện phép nhân:
a) \((x + 1)(x - 2)\)
b) \((2x + 3)(x^2 - x + 4)\)
Giải mẫu:
a) \((x + 1)(x - 2) = x^2 - 2x + x - 2 = x^2 - x - 2.\)
b)\( (2x + 3)(x^2 - x + 4) = 2x \cdot x^2 + 2x \cdot (-x) + 2x \cdot 4 + 3 \cdot x^2 + 3 \cdot (-x) + 3 \cdot 4 = 2x^3 - 2x^2 + 8x + 3x^2 - 3x + 12 = 2x^3 + x^2 + 5x + 12.\)
Bài tập tự luyện:
1.    Thực hiện phép nhân:
a)\( (x + 3)(x - 5)\)
b) \((3x - 2)(x^2 + x - 1)\)
c) \((2x + 1)(3x + 4)\)
DẠNG 5: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Đề bài mẫu: Tính giá trị của đa thức \(3x^2 - 2x + 5\) tại x = 2.
Giải mẫu:
Thay x = 2 vào đa thức:
\(3(2^2) - 2(2) + 5 = 3(4) - 4 + 5 = 12 - 4 + 5 = 13.\)
Bài tập tự luyện:
1.    Tính giá trị của các đa thức sau tại giá trị cho trước:
a)\( x^2 + 2x + 1\) tại x = -1.
b\() 2x^2 - 3x + 4\) tại x = 0.
c) \(5x^3 - x^2 + x - 1 \)tại x = 1.
Ghi chú lý thuyết quan trọng
1.    Đơn thức
o    Một đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm tích của một số, các biến, và các lũy thừa của biến với số mũ nguyên không âm.
o    Khi nhân các đơn thức, cần cộng các số mũ của biến cùng loại. Ví dụ: \(x^2 \cdot x^3 = x^{2+3} = x^5.\)
2.    Đa thức
o    Đa thức là tổng của nhiều đơn thức. Ví dụ: \(3x2+2xy−53x^2 + 2xy - 5.\)
o    Khi thực hiện phép cộng hoặc trừ các đa thức, chỉ cộng hoặc trừ các hạng tử đồng dạng.
3.    Nhân đa thức với đa thức
o    Áp dụng tính chất phân phối để nhân từng hạng tử trong đa thức này với từng hạng tử trong đa thức kia.
o    Khi nhân, chú ý sắp xếp kết quả theo thứ tự bậc giảm dần để dễ kiểm tra.
4.    Bậc của một biểu thức
o    Đơn thức: Bậc là tổng số mũ của tất cả các biến trong đơn thức.
o    Đa thức: Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất.
5.    Lưu ý khi tính giá trị của biểu thức
o    Thay giá trị của biến vào biểu thức.
o    Thực hiện đúng thứ tự các phép tính: lũy thừa → nhân, chia → cộng, trừ.
Lời khuyên học tập
1.    Luyện tập thường xuyên
o    Làm bài tập đều đặn mỗi ngày giúp bạn ghi nhớ và vận dụng tốt các kiến thức đã học.
o    Bắt đầu từ các bài cơ bản, sau đó thử sức với các bài nâng cao.
2.    Hiểu bản chất, không học vẹt
o    Tập trung vào việc hiểu rõ cách thực hiện từng bước giải bài, đặc biệt với các bài toán tính giá trị hoặc biến đổi biểu thức.
3.    Tự kiểm tra sau mỗi bài học
o    Tự làm lại các bài tập đã giải và so sánh đáp án để biết mình đã nắm vững phần nào, còn sai sót ở đâu.
4.    Học nhóm
o    Trao đổi với bạn bè về cách giải bài hoặc các dạng bài tập khó giúp bạn học hỏi thêm nhiều phương pháp giải khác nhau.
5.    Lập kế hoạch học tập
o    Chia nhỏ nội dung cần học và đặt mục tiêu hoàn thành mỗi ngày, tránh học dồn khi gần đến kỳ thi.
6.    Học qua tài liệu tại website Tài Liệu Thi
o    Truy cập tailieuthi.net để tiếp cận nhiều tài liệu học tập chi tiết, bám sát chương trình.
o    Tài liệu trên website bao gồm cả lý thuyết, bài tập mẫu có lời giải, và bài tập tự luyện đa dạng, giúp bạn rèn luyện toàn diện.
o    Đặc biệt, bạn có thể tham khảo thêm các mẹo làm bài và tài liệu nâng cao để đạt kết quả tốt hơn.

Tài liệu toán 8
7.    Khai thác tài liệu hiệu quả
o    Đọc kỹ phần lý thuyết trước khi làm bài tập.
o    Thực hiện các bài tập mẫu và tự làm lại những bài tập tương tự trên website.
o    Đối chiếu kết quả và tìm hiểu kỹ lời giải chi tiết để hiểu rõ phương pháp làm bài.
Hãy tận dụng tối đa tài liệu và công cụ học tập trên Tài Liệu Thi để nâng cao kiến thức và kỹ năng của mình! ?