I. Đa giác đều - Vẻ đẹp của sự cân đối

Hãy tưởng tượng một hình học phẳng được bao quanh bởi những đường thẳng, tạo thành một chuỗi các cạnh nối tiếp nhau. Nếu tất cả các cạnh này có độ dài bằng nhau và tất cả các góc tạo bởi chúng cũng bằng nhau, ta sẽ có một đa giác đều.

Đa giác đều hiện diện xung quanh ta, từ những hình đơn giản như tam giác đều, hình vuông đến những hình phức tạp hơn như ngũ giác đều, lục giác đều,... Chúng mang vẻ đẹp của sự cân đối, hài hòa, và ẩn chứa trong đó những quy luật toán học thú vị.

1. Định nghĩa:

Đa giác đều là đa giác lồi có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

2. Tính chất:

• Số đo mỗi góc: Mỗi góc của đa giác đều n cạnh có số đo là (n-2).180°/n. Ví dụ, mỗi góc của hình vuông (n=4) có số đo là (4-2).180°/4 = 90°.
• Tâm đa giác: Tâm của đa giác đều là giao điểm của các đường phân giác của các góc trong đa giác. Tâm này cũng đồng thời là tâm của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp đa giác đều.
• Chia thành tam giác cân: Đa giác đều có thể được chia thành n tam giác cân bằng nhau, có đỉnh chung là tâm của đa giác.

3. Ý nghĩa:

Đa giác đều có ý nghĩa quan trọng trong toán học và nghệ thuật. Chúng được sử dụng rộng rãi trong kiến trúc, thiết kế, trang trí,... bởi vẻ đẹp cân đối và hài hòa.

II. Phép quay - Chuyển động xoay quanh một điểm

Trong cuộc sống, ta thường gặp những chuyển động xoay tròn, ví dụ như bánh xe quay, cánh quạt quay, Trái Đất tự quay quanh trục của nó,... Trong toán học, phép quay là một phép biến hình mô tả chính xác những chuyển động này.

1. Định nghĩa:

Phép quay là một phép biến hình trong mặt phẳng, biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho:

• Khoảng cách từ M đến tâm quay bằng khoảng cách từ M' đến tâm quay (OM = OM').
• Góc tạo bởi tia OM và tia OM' bằng một góc α cho trước (góc MOM' = α).

Điểm O gọi là tâm quay, góc α gọi là góc quay.

2. Tính chất:

• Bảo toàn khoảng cách: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
• Biến hình dạng: Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó,...1
• Góc quay: Góc quay có thể dương (quay ngược chiều kim đồng hồ) hoặc âm (quay cùng chiều kim đồng hồ).

3. Ý nghĩa:

Phép quay là một công cụ quan trọng trong hình học, giúp ta hiểu rõ hơn về sự chuyển động và biến đổi của các hình trong mặt phẳng.

III. Sự kết hợp giữa đa giác đều và phép quay

Khi kết hợp đa giác đều với phép quay, ta sẽ khám phá ra những tính chất đặc biệt và ứng dụng thú vị.

1. Quay đa giác đều:

Một đa giác đều có thể được quay quanh tâm của nó một góc bằng 360°/n (với n là số cạnh) để trùng khít với chính nó. Điều này cho thấy tính đối xứng cao của đa giác đều.

2. Tìm ảnh của hình qua phép quay:

Phép quay có thể được sử dụng để tìm ảnh của các điểm, đường thẳng, đoạn thẳng, đa giác,... Ví dụ, khi quay một hình vuông quanh tâm 90 độ, ta sẽ thu được hình vuông ban đầu.

3. Ứng dụng trong giải toán:

Phép quay là một công cụ hữu ích để giải quyết các bài toán hình học, chẳng hạn như:

• Chứng minh tính chất hình học: Sử dụng phép quay để chứng minh sự bằng nhau của các đoạn thẳng, các góc, các hình,...
• Tìm điểm, dựng hình: Vận dụng phép quay để tìm vị trí của các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán, hoặc dựng các hình hình học phức tạp.