Số phức là một khái niệm quan trọng trong chương trình toán 12 cánh diều và toán 12 chân trời sáng tạo, giúp học sinh nắm vững các phép toán phức tạp và mở rộng hiểu biết về các dạng số. Trong đó, số phức bao gồm phần thực và phần ảo. Mỗi số phức thường có dạng $z=a+bi$, với $a$ là phần thực và $b$ là phần ảo. Chẳng hạn, khi xét số phức $z=2-3i$, phần ảo của số phức này chính là -3, trong khi phần thực là 2. Khái niệm số phức mở rộng tập hợp các số, cho phép chúng ta giải quyết các phương trình mà không thể giải bằng các số thực thông thường.

Tập hợp số phức được ký hiệu là $\mathbb{C}$, là một tập hợp chứa tất cả các số phức có dạng $a+bi$, trong đó $a$ và $b$ là các số thực, còn $i$ là đơn vị ảo, thỏa mãn i2=−1i^2 = -1i2=−1. Việc hiểu về tập hợp này giúp học sinh làm quen với nhiều phép toán liên quan đến số phức như cộng, trừ, nhân, chia và tính modun số phức. Modun số phức được xem là khoảng cách từ điểm biểu diễn số phức đến gốc tọa độ trong mặt phẳng phức. Nó là một khái niệm quan trọng khi thực hiện các phép toán phức tạp hơn, và được sử dụng rộng rãi trong các bài toán nâng cao.

Trong các dạng toán lớp 12, học sinh thường gặp các bài tập về số phức, bao gồm cả những câu hỏi về số phức nghịch đảo. Để tìm số nghịch đảo của một số phức $z=a+bi$, ta cần thực hiện phép tính phức tạp bằng cách nhân với số phức liên hợp của nó. Vậy số phức liên hợp là gì? Đó chính là một số phức có dạng z‾=a−bi\overline{z} = a - biz=a−bi, với phần ảo đổi dấu so với số phức ban đầu. Phép tính này giúp giải quyết nhiều dạng bài tập khó và phức tạp, đặc biệt là khi làm việc với các phương trình chứa số phức.

Trong lý thuyết số phức, khái niệm số thuần ảo cũng rất quan trọng. Số thuần ảo là số phức có phần thực bằng 0, chỉ bao gồm phần ảo, chẳng hạn như $z=0+bi$. Những số này có vai trò quan trọng trong biểu diễn các vectơ trên mặt phẳng phức và trong các ứng dụng thực tế liên quan đến tín hiệu hoặc điện tử.

Một trong những kỹ năng quan trọng khi học về số phức là cách biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức. Trong mặt phẳng này, trục ngang biểu thị phần thực, trong khi trục dọc biểu thị phần ảo. Việc biểu diễn số phức không chỉ giúp học sinh hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa các số phức mà còn làm nền tảng cho việc giải các bài toán hình học phức tạp liên quan đến khoảng cách và góc giữa các số phức.

Ngoài ra, trong chương trình toán 12, việc thực hiện các phép toán với số phức đòi hỏi học sinh phải nắm vững các công thức số phức nâng cao. Những công thức này không chỉ giới hạn ở việc tính toán đơn giản, mà còn mở rộng sang các lĩnh vực phức tạp hơn như tìm nghiệm của phương trình bậc hai trong tập hợp số phức. Đặc biệt, các phép toán tích phân liên quan đến số phức cũng yêu cầu học sinh có kiến thức vững chắc về cách tính tích phân, đây là phần không thể thiếu trong lý thuyết toán 12.

Các dạng toán lớp 12 liên quan đến số phức thường rất phong phú và đa dạng. Chúng không chỉ dừng lại ở việc tính toán các phép toán cơ bản như cộng, trừ, nhân, chia mà còn mở rộng ra các dạng bài tập đòi hỏi sự sáng tạo và kỹ năng tính toán phức tạp hơn. Một trong những bài toán phổ biến là yêu cầu học sinh tính modun số phức, từ đó suy ra khoảng cách giữa hai số phức hoặc tìm các nghiệm của phương trình số phức.

Trong quá trình học toán, đặc biệt là phần về số phức, việc hiểu rõ bản chất của các phép toán là rất quan trọng. Thay vì chỉ dừng lại ở việc thực hiện các phép tính, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản như số phức liên hợp, số thuần ảo và cách biểu diễn số phức để có thể áp dụng vào các bài toán thực tế. Ví dụ, trong một số bài tập nâng cao, học sinh có thể được yêu cầu tìm số phức sao cho khi nhân với số phức ban đầu sẽ cho kết quả là một số thực. Đây là lúc mà việc hiểu rõ về số phức nghịch đảo và các phép toán liên quan đến số phức trở nên vô cùng hữu ích.

Việc học và thực hiện các phép toán liên quan đến số phức trong chương trình toán 12 không chỉ giúp học sinh phát triển kỹ năng toán học mà còn rèn luyện khả năng tư duy logic và giải quyết vấn đề. Các công thức số phức nâng cao như cách tính modun số phức, hay việc sử dụng số phức liên hợp để giải các bài toán phức tạp đều là những công cụ quan trọng trong kho tàng kiến thức toán học.

Toán 12 cánh diều và toán 12 chân trời sáng tạo đều tập trung khai thác sâu rộng những vấn đề này, giúp học sinh có cái nhìn toàn diện và áp dụng được vào nhiều bài toán thực tế. Từ việc tìm hiểu về phần ảo của số phức z = 2 - 3i đến các khái niệm như số phức nghịch đảo, công thức số phức nâng cao, học sinh được trang bị đầy đủ công cụ để tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến số phức.