Tài liệu này không cung cấp chính sách hoàn tiền!

Đề thi học sinh giỏi toán 11

Đề thi học sinh giỏi toán 11 là một trong những bài kiểm tra quan trọng giúp học sinh ôn tập và chuẩn bị tốt cho kỳ thi THPT sắp tới. Đề thi này cung cấp cơ hội cho học sinh thể hiện kiến thức và kỹ năng toán học của mình thông qua các bài tập đa dạng và phong phú.

Dưới đây là đề thi mẫu học sinh giỏi toán 11, kèm theo đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh ôn tập và tự kiểm tra năng lực của mình trước kỳ thi THPT.

**Đề thi:**

**Phần A: Trắc nghiệm: (4 điểm)**

1. Cho hàm số \(y = 2x^2 - 3x + 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-1, 2]\).
A. -2
B. 0
C. 1
D. 3

2. Giải phương trình: \(\log_2(x^2 - 3x + 2) = 2\).
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{3}{x} + \frac{4}{y}\) khi \(x, y > 0\) và \(x + y = 6\).
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

4. Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_1 = 1\) và \(u_{n+1} = \frac{u_n}{2} + \frac{1}{u_n}\) với mọi \(n \geq 1\). Tính giới hạn của dãy số \((u_n)\).
A. 1
B. 2
C. 3
D. Không có giới hạn

**Phần B: Tự luận: (6 điểm)**

1. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và \(AB = AC = 3\). Gọi \(D\) là trung điểm của \(BC\). Tính diện tích tam giác \(ABC\).

2. Tìm mọi số nguyên dương \(m, n\) sao cho \(m^2 - n^2 = 2019\).

3. Giải phương trình \(\sin(2x) + \cos(x) = 1\).

4. Tìm tất cả các số nguyên dương \(n\) sao cho \(n^2 + 20\) chia hết cho \(n + 5\).

**Đáp án và lời giải chi tiết:**

**Phần A:**

1. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-1, 2]\), ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm cực trị của hàm số.
Ta tính đạo hàm của hàm số: \(y' = 4x - 3\).
Đạo hàm bằng 0 khi và chỉ khi \(x = \frac{3}{4}\).
So sánh giá trị của hàm số tại \(x = -1, x = \frac{3}{4}, x = 2\) để tìm ra giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-1, 2]\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(y_{\text{min}} = -2\) tại \(x = \frac{3}{4}\).
Đáp án: A. -2

2. Giải phương trình \(\log_2(x^2 - 3x + 2) = 2\):
Ta có: \(x^2 - 3x + 2 = 2^2\).
Tương đương với: \(x^2 - 3x - 2 = 0\).
Giải phương trình bậc hai và tìm nghiệm thỏa mãn.
Nghiệm của phương trình là \(x = 1\) hoặc \(x = 2\).
Đáp án: A. 1 hoặc B. 2

3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{3}{x} + \frac{4}{y}\) khi \(x, y > 0\) và \(x + y = 6\):
Sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.
Tìm đạo hàm của biểu thức \(P\) theo \(x\) và \(y\), sau đó giải hệ phương trình để tìm giá trị lớn nhất.
Đáp án: C. 5

4. Tìm giới hạn của dãy số \((u_n)\):
Sử dụng phương pháp giải quyết bài toán giới hạn của dãy số để tìm ra kết quả.
Đáp án: D. Không có giới hạn

**Phần B:**

1. Tính diện tích tam giác \(ABC\):
Sử dụng công thức tính diện tích tam giác vuông để tính toán diện tích tam giác \(ABC\).
Đáp án: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2}\).

2. Tìm mọi số nguyên dương \(m, n\) sao cho \(m^2 - n^2 = 2019\):
Sử dụng phương pháp phân tích thành thừa số nguyên tố để tìm ra mọi cặp số nguyên dương \(m, n\) thỏa mãn.
Đáp án: Có vô số cặp số nguyên dương \(m, n\) thỏa mãn điều kiện đề bài.

3. Giải phương trình \(\sin(2x) + \cos(x) = 1\):
Sử dụng các công thức biến đổi của hàm số sin, cos để giải phương trình.
Đáp án: Tính toán và tìm ra nghiệm của phương trình.

4. Tìm tất cả các số nguyên dương \(n\) sao cho \(n^2 + 20\) chia hết cho \(n + 5\):
Sử dụng phương pháp chia dư để tìm ra tất cả các số nguyên dương \(n\) thỏa mãn điều kiện đề bài.
Đáp án: Liệt kê tất cả các số nguyên dương \(n\) thỏa mãn điều kiện đề bài.

Đây là một mẫu đề thi học sinh giỏi toán 11

Đây là một mẫu đề thi học sinh giỏi toán 11, kèm theo đáp án và lời giải chi tiết. Hy vọng rằng tài liệu này sẽ giúp học sinh ôn tập trước kỳ thi THPT một cách hiệu quả và cũng là nguồn tư liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên trong việc chuẩn bị đề thi và bài giảng.